Question

已知橢圓，過點(diǎn)且離心率為.

求橢圓的方程；

已知是橢圓的左右頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，連接角橢圓于點(diǎn)，在軸上是否存在異于點(diǎn)的定點(diǎn)，使得以為直徑的圓經(jīng)過直線和直線的交點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)，若不存在，說明理由.

 

 

Answer 1

（1）；（2）存在，

【解析】

試題分析：（1）由離心率，所以①，再把點(diǎn)代入橢圓中得：②，最后③，由①②③三式求出、，即可寫出橢圓方程；

假設(shè)存在，設(shè)，則直線的方程， 可得， 并設(shè)定點(diǎn)，由題目得：，直線與直線斜率之積為-1，即 ，化簡(jiǎn)得 ，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111718580457143476/SYS201411171858131655596800_DA/SYS201411171858131655596800_DA.021.png"> ，得，可求出，繼而得到定點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo).

（1）由題意得

得 ，

所以，橢圓方程為

（2）設(shè)，則直線的方程，

可得，

設(shè)定點(diǎn)，，

，即 ，

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111718580457143476/SYS201411171858131655596800_DA/SYS201411171858131655596800_DA.021.png">， 所以

進(jìn)而求得，故定點(diǎn)為.

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；圓錐曲線的綜合問題.