Question

17．已知函數(shù)f（x）=（x²-a）e^x，a∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）有兩個不同的極值點(diǎn)x₁，x₂，求證：f（x₁）f（x₂）＜4e^-2．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，找到函數(shù)的極值點(diǎn)，從而證明出結(jié)論．

解答 解：（1）f′（x）=e^x（x²+2x-a），
①當(dāng)a≤-1時，f′（x）≥0，f（x）在R上遞增；
②當(dāng)a＞-1時，令f′（x）=0，解得：${x_1}=-1-\sqrt{a+1}，{x_2}=-1+\sqrt{a+1}$
∴f（x）的遞增區(qū)間為（-∞，x₁），（x₂，+∞），減區(qū)間為（x₁，x₂）；
（2）f′（x）=e^x（x²+2x-a）．
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）有兩個不同的零點(diǎn)，即f′（x）有兩個不同的零點(diǎn)，
即方程x²+2x-a=0的判別式△=4+4a＞0，解得：a＞-1，
由x²+2x-a=0，解得x₁=-1-$\sqrt{a+1}$，x₂=-1+$\sqrt{a+1}$，
此時x₁+x₂=-2，x₁•x₂=-a，
隨著x變化，f（x）和f′（x）的變化情況如下：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

所以x₁是f（x）的極大值點(diǎn)，x₂是f（x）的極小值點(diǎn)，所以f（x₁）是極大值，f（x₂）是極小值，
∴f（x₁）f（x₂）=ex1（x12-a）•ex2（x22-a）
=ex1+x2[x12x22-a（x12+x22）+a2]
=e^-2[a²-a（4+2a）+a²]
=-4ae^-2，
因?yàn)閍＞-1，所以-4ae^-2＜4e^-2，
所以f（x₁）f（x₂）＜4e^-2．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值問題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想，熟練掌握基礎(chǔ)知識并對其靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，本題是一道難題．