Question

已知焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線(xiàn)為l的拋物線(xiàn)Γ：x²=2py（p＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2

3

，3），其中A，B是拋物線(xiàn)上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求拋物線(xiàn)Γ的方程．
（2）若OA⊥OB，求線(xiàn)段AB的中點(diǎn)P的軌跡方程．
（3）若∠AFB=90°，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M，點(diǎn)M在直線(xiàn)l上的投影為N，求

|MN|

|AB|

的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）利用拋物線(xiàn)Γ：x²=2py（p＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2

3

，3），求出p，即可求拋物線(xiàn)Γ的方程．
（2）若OA⊥OB，則x₁x₂+y₁y₂=0，利用2x=x₂+x₁，2y=

x12

4

+

x22

4

，即可求線(xiàn)段AB的中點(diǎn)P的軌跡方程．
（3）設(shè)|AF|=a、|BF|=b，由拋物線(xiàn)定義結(jié)合梯形的中位線(xiàn)定理，得2|MN|=a+b．再由勾股定理得|AB|²=a²+b²，結(jié)合基本不等式求得|AB|的范圍，從而可得

|MN|

|AB|

的最大值．

解答： 解：（1）∵拋物線(xiàn)Γ：x²=2py（p＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2

3

，3），
∴12=6p，∴p=2，
∴拋物線(xiàn)Γ的方程為x²=4y．
（2）設(shè)P（x，y），A（x₁，

x12

4

），B（x₂，

x22

4

），則
2x=x₂+x₁，2y=

x12

4

+

x22

4

∴x₂x₁=2x²-4y，
∵OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴x₁x₂+

x12

4

•

x22

4

=0，
∴x₂x₁=-16，
∴2x²-4y=-16，
即y=

1

2

x²+4，
∴線(xiàn)段AB的中點(diǎn)P的軌跡方程是y=

1

2

x²+4；
（3）設(shè)|AF|=a，|BF|=b，A、B在準(zhǔn)線(xiàn)上的射影點(diǎn)分別為Q、P，連接AQ、BP　　
由拋物線(xiàn)定義，得AF|=|AQ|且|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中根據(jù)中位線(xiàn)定理，得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由勾股定理得|AB|²=a²+b²，配方得|AB|²=（a+b）²-2ab，
又∵ab≤（

a+b

2

） ²，
∴（a+b）²-2ab≥（a+b）²-2×（

a+b

2

） ²=

1

2

（a+b）²
得到|AB|≥

2

2

（a+b）．
∴

|MN|

|AB|

≤

1 2 (a+b)

2 2 (a+b)

=

2

2

，即

|MN|

|AB|

的最大值為

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查拋物線(xiàn)的方程、考查了拋物線(xiàn)的定義與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、梯形的中位線(xiàn)定理和基本不等式求最值等知識(shí)，屬于中檔題．