Question

（理）設(shè)a＞0，a≠1為常數(shù)，函數(shù)f(x)=loga

x-5

x+5

（1）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-5）內(nèi)的單調(diào)性，并給予證明；
（2）設(shè)g（x）=1+log_a（x-3），如果方程f（x）=g（x）有實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將對數(shù)的真數(shù)當(dāng)成一個函數(shù)，可以用定義證明它在區(qū)間（-∞，-5）內(nèi)的單調(diào)性，再討論底數(shù)a與1的大小關(guān)系得到相應(yīng)的情況下真數(shù)的大小關(guān)系，即可得函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-5）內(nèi)的單調(diào)性；
（2）化函數(shù)g（x）=1+log_a（x-3））為g（x）=log_aa（x-3），方程f（x）=g（x）即為它們的真數(shù)都大于零且相等，采用變量分離的方法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)F（x）=

x-5

(x+5)(x-3)

在區(qū)間（5，+∞）上的值域，實數(shù)a的取值范圍就應(yīng)該屬于這個值域．

解答：解：（1）設(shè)t=

x-5

x+5

，任取x₂＜x₁＜-5，則
t₂-t₁=

x2-5

x2+5

-

x1-5

x1+5

=

(x1+5)(x2-5)-(x2+5)(x1-5)

(x2+5)(x1+5)

=

10( x2-x1)

(x2+5)(x1+5)

．
∵x₁＜-5，x₂＜-5，x₂＜x₁，
∴x₁+5＜0，x₂+5＜0，x₂-x₁＜0．
∴

10(x2-x1)

(x2+5)(x1+5)

＜0，即t₂＜t₁．
當(dāng)a＞1時，y=log_ax是增函數(shù)，∴l(xiāng)og_at₂＜log_at₁，即f（x₂）＜f（x₁）；
當(dāng)0＜a＜1時，y=log_ax是減函數(shù)，∴l(xiāng)og_at₂＞log_at₁，即f（x₂）＞f（x₁）．
綜上可知，當(dāng)a＞1時，f（x）在區(qū)間（-∞，-5）為增函數(shù)；
當(dāng)0＜a＜1時，f（x）在區(qū)間（-∞，-5）為減函數(shù)．
（2）g（x）=1+log_a（x-3）=log_aa（x-3），
方程f（x）=g（x）等價于：

a(x-3)= x-5 x+5 x＞3 x＜-5或x＞5

即方程a=

x-5

(x+5)(x-3)

在區(qū)間（5，+∞）上有解，
∵[

x-5

(x+5)(x-3)

] /=

-x2+10x-5

(x+5) 2(x-3)  2

=

-[x-(5-2 5 )][x-(5+2 5 )]

(x+5)(x-3)

∴函數(shù)F（x）=

x-5

(x+5)(x-3)

在區(qū)間（5，5+2

5

）上導(dǎo)數(shù)大于零，在區(qū)間（5+2

5

，+∞）導(dǎo)數(shù)小于零
可得F（x）=

x-5

(x+5)(x-3)

在區(qū)間（5，5+2

5

）上單調(diào)增，在區(qū)間（5+2

5

，+∞）單調(diào)減
∴F（x）的最大值為F（5+2

5

）=

3- 5

16

，而F（x）的最小值大于F（5）=0
要使方程方程a=

x-5

(x+5)(x-3)

在區(qū)間（5，+∞）上有解，必須a∈（0，

3- 5

16

]
所以a的取值范圍是：（0，

3- 5

16

]

點評：本題著重考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明、根的存在性及根的個數(shù)判斷等知識點，在解題時應(yīng)該注意分類討論與數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用．