Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2x+a•lnx．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1]上恒為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)t≥1時，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由f（x）=x²+2x+a•lnx，得，
要使f（x）在（0，1]上恒為單調(diào)函數(shù)，只需f′（x）≥0或f′（x）≤0在（0，1]上恒成立．
∴只需a≥-（2x²+2x），或a≤-（2x²+2x）在（0，1]上恒成立．
記g（x）=-（2x²+2x），
∵0＜x≤1，
∴-4≤g（x）＜0，
∴a≤-4，或a≥0．（5分）
（2）∵f（x）=x²+2x+a•lnx，
∴由f（2t-1）≥2f（t）-3，得
（2t-1）²+2（2t-1）+a•ln（2t-1）≥2（t²+2t+alnt）-3，
化簡得2（t-1）²≥，
∵t＞1時有t²＞2t-1＞0，即，
則，∴，①-------------（7分）
構(gòu)造函數(shù)h（x）=ln（x+1）-x，x＞-1，則，
∴h（x）在x=0處取得極大值，也是最大值．
∴h（x）≤h（0）在x＞-1范圍內(nèi)恒成立，而h（0）=0，
從而ln（1+x）≤x在x＞-1范圍內(nèi)恒成立．
∴在t＞1時，ln=ln[1+≤＜（t-1）²，
而t=1時，=（t-1）²=0，
∴當(dāng)t≥1時，≤（t-1）²恒成立，
即t≥1時，總有，②
由式①和式②可知，實數(shù)a的取值范圍是a≤2．（12分）
分析：（1）由f（x）=x²+2x+a•lnx，得，要使f（x）在（0，1]上恒為單調(diào)函數(shù)，只需f′（x）≥0或f′（x）≤0在（0，1]上恒成立．由此能求出實數(shù)a的取值范圍．
（2）由f（x）=x²+2x+a•lnx，知f（2t-1）≥2f（t）-3，故2（t-1）²≥，t＞1時，，所以，構(gòu)造函數(shù)h（x）=ln（x+1）-x，x＞-1，則，由此能夠求出實數(shù)a的取值范圍．
點評：本題考查實數(shù)a的求法，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)在求解函數(shù)最值時的靈活運用．