Question

已知橢圓的上頂點為A（0，1），過C₁的焦點且垂直長軸的弦長軸的弦長為1．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設(shè)圓O：，過該圓上任意一點作圓的切線l，試證明l和橢圓C₁恒有兩個交點A，B，且有；
（3）在（2）的條件下求弦AB長度的取值范圍．

Answer 1

解：依題意有．
（1）．

（2）由，且半徑，所以圓O必在橢圓內(nèi)部，
所以過該圓上任意一點作切線必與橢圓恒有兩個交點．
設(shè)切點坐標(biāo)為（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則切線方程為（1），
又由（1）知（2）
聯(lián)立（1）（2）得：，，
又，，
所以，欲證，即證：x₁x₂+y₁y₂=0，
因為：
所以，命題成立．

（3）設(shè)∠A=θ，則∠B=90°-θ，，，
則，
所以O(shè)A∈[1，2]，，所以，又θ為銳角，
所以，則有，所以．
分析：（1）根據(jù)點A的坐標(biāo)求得b，根據(jù)過C₁的焦點且垂直長軸的弦長軸的弦長為1．求得=1，進(jìn)而求得a，則橢圓的方程可得．
（2）根據(jù)橢圓方程和圓的半徑小于1判斷圓O必在橢圓內(nèi)部設(shè)切點坐標(biāo)為（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），進(jìn)而可表示出切線方程，與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進(jìn)而根據(jù)y₁和y₂的表達(dá)式，求得y₁y₂的表達(dá)式，進(jìn)而代入x₁x₂+y₁y₂求得結(jié)果為0，進(jìn)而判斷出．
（3）設(shè)∠A=θ，則∠B=90°-θ，可知OD的值，進(jìn)而表示出BD和AD，進(jìn)而表示出AB，確定OA的范圍，確定sinθ的范圍，推斷出tanθ的范圍，進(jìn)而確定AB的范圍．
點評：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用．考查了學(xué)生綜合分析問題和基本的運(yùn)算能力．