Question

設定義域為（0，+∞）的單調函數(shù)f（x），對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-lnx]=e+1，若x₀是方程f（x）-f′（x）=e的一個解，則x₀可能存在的區(qū)間是（　�。�

• A、（0，1）
• B、（e^-1，1）
• C、（0，e^-1）
• D、（1，e）

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理,導數(shù)的運算

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：由題意知：f（x）-lnx為常數(shù)，令f（x）-lnx=k（常數(shù)），則f（x）=lnx+k．由f[f（x）-lnx]=e+1，得f（k）=e+1，又f（k）=lnk+k=e+1，
所以f（x）=lnx+e，再用零點存在定理驗證，

解答： 解：由題意知：f（x）-lnx為常數(shù)，令f（x）-lnx=k（常數(shù)），則f（x）=lnx+k．
由f[f（x）-lnx]=e+1，得f（k）=e+1，又f（k）=lnk+k=e+1，
所以f（x）=lnx+e，
f′（x）=

1

x

，x＞0．
∴f（x）-f′（x）=lnx-

1

x

+e，
令g（x）=lnx-

1

x

+-e=lnx-

1

x

，x∈（0，+∞）
可判斷：g（x）=lnx-

1

x

，x∈（0，+∞）上單調遞增，
g（1）=-1，g（e）=1-

1

e

＞0，
∴x₀∈（1，e），g（x₀）=0，
∴x₀是方程f（x）-f′（x）=e的一個解，則x₀可能存在的區(qū)間是（1，e）
故選：D．

點評：本題考查了函數(shù)的單調性，零點的判斷，構造思想，屬于中檔題．