【題目】已知橢圓的離心率為，以橢圓的短軸為直徑的圓與直線相切.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)橢圓過右焦點(diǎn)的弦為、過原點(diǎn)的弦為，若，求證：為定值.

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)證明見解析.

【解析】

試題分析：

(Ⅰ)由題意結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式可得.結(jié)合離心率計(jì)算公式有.則橢圓的方程為.

(Ⅱ)對(duì)直線的斜率分類討論：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，，，，聯(lián)立直線方程與橢圓方程有，由弦長公式可得.聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合弦長公式有.計(jì)算可得.據(jù)此可得：為定值.

試題解析：

（Ⅰ）依題意，原點(diǎn)到直線的距離為，

則有.

由，得.

∴橢圓的方程為.

（Ⅱ）證明：（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易求，，

則.

（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，

設(shè)直線的斜率為，依題意，

則直線的方程為，直線的方程為.

設(shè)，，，，

由得，

則，，

.

由整理得，則.

.

∴.

綜合（1）（2），為定值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一個(gè)袋中裝有形狀大小完全相同的球9個(gè)，其中紅球3個(gè)，白球6個(gè)，每次隨機(jī)取1個(gè)，直到取出3次紅球即停止．

(1)從袋中不放回地取球，求恰好取4次停止的概率P1；

(2)從袋中有放回地取球．

①求恰好取5次停止的概率P2；

②記5次之內(nèi)(含5次)取到紅球的個(gè)數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望．

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【題目】已知函數(shù)，，且曲線與在處有相同的切線.

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）求證：在上恒成立；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，求方程在區(qū)間內(nèi)實(shí)根的個(gè)數(shù).

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（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）求證：在上恒成立；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，求方程在區(qū)間內(nèi)實(shí)根的個(gè)數(shù).

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【題目】已知圓的方程為．

（1）求過點(diǎn)且與圓相切的直線的方程；

（2）直線過點(diǎn)，且與圓交于、兩點(diǎn)，若，求直線的方程；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】袋中有紅、黃、白色球各1個(gè)，每次任取1個(gè)，有放回地抽三次，求基本事件的個(gè)數(shù)，寫出所有基本事件的全集，并計(jì)算下列事件的概率：

（1）三次顏色各不相同；

（2）三次顏色不全相同；

（3）三次取出的球無紅色或黃色．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知曲線的極坐標(biāo)方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．

（1）分別求出曲線和直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若點(diǎn)在曲線上，且到直線的距離為1，求滿足這樣條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

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