已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)y=f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,其圖象均在x軸上方,對(duì)任意m,n∈[0,+∞),都有f=[f(m)]n,且f(2)=4.
(1)求f(0)、f(-1)的值;
(2)解關(guān)于x的不等式,其中k∈(-1,1).
【答案】分析:(1)由題意知對(duì)任意x∈R,f(x)>0,而對(duì)任意m,n∈[0,+∞),都有f(mn)=[f(m)]n,令m=n=0可求出f(0)的值,令m=1,n=2,可得[f(1)]2=4,求出f(1)=2,根據(jù)偶函數(shù)可求出f(-1)的值;
(2),然后根據(jù)f(x)為偶函數(shù),且在[0,+∞)上單調(diào)遞增,則,轉(zhuǎn)化成(k2-1)x2+4kx≥0,討論二次項(xiàng)系數(shù)可求出所求.
解答:解:(1)由題意知對(duì)任意x∈R,f(x)>0,
又對(duì)任意m,n∈[0,+∞),都有f(mn)=[f(m)]n,
則令m=n=0則f(0)=[f(0)]=1,…(2分)
令m=1,n=2,可得f(2)=f(1×2)=[f(1)]2=4,
∴f(1)=2,根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可知f(-1)=2.…(6分)
(2)…(9分)
∵f(x)為偶函數(shù),且在[0,+∞)上單調(diào)遞增,∴,
即(k2-1)x2+4kx≥0…(11分)
當(dāng)-1<k<0時(shí),原不等式的解集為
當(dāng)k=0時(shí),原不等式的解集為{0};
當(dāng)0<k<1時(shí),原不等式的解集為.…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了函數(shù)的奇偶性,以及函數(shù)的單調(diào)性,同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化與分類討論的數(shù)學(xué)思想和計(jì)算能力,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)y=f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,其圖象均在x軸上方,對(duì)任意m,n∈[0,+∞),都有f(m•n)=[f(m)]n,且f(2)=4.
(1)求f(0)、f(-1)的值;
(2)解關(guān)于x的不等式[f(
kx+2
2
x2+4
)]2≥2
,其中k∈(-1,1).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)y=f(x)對(duì)任意x∈R都滿足條件f(x)+f(4-x)=0與f(x+2)-f(x-2)=0,則對(duì)函數(shù)y=f(x),
下列結(jié)論中必定正確的是
①③
①③
.(填上所有正確結(jié)論的序號(hào))
①y=f(x)是奇函數(shù);                ②y=f(x)是偶函數(shù);
③y=f(x)是周期函數(shù);              ④y=f(x)的圖象是軸對(duì)稱的.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)y=f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,其圖象均在x軸上方,對(duì)任意m,n∈[0,+∞),都有f(m•n)=[f(m)]n,且f(2)=4.
(1)求f(0)、f(-1)的值;
(2)解關(guān)于x的不等式數(shù)學(xué)公式,其中k∈(-1,1).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)y=f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,其圖象均在x軸上方,對(duì)任意m,n∈[0,+∞),都有f(m•n)=[f(m)]n,且f(2)=4.
(1)求f(0)、f(-1)的值;
(2)解關(guān)于x的不等式[f(
kx+2
2
x2+4
)]2≥2
,其中k∈(-1,1).

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