Question

已知函數(shù)f（x）=x|x-2a|-2x，x∈R．
（1）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，函數(shù)y=f（x）-m有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）需要分類討論，當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=x²-3x，當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=-x²+x，再根據(jù)方程的根的個(gè)數(shù)判斷函數(shù)y=f（x）-m零點(diǎn)的情況．
（2需要分類討論，當(dāng)x≥2a時(shí)，當(dāng)x＜2a時(shí)，再求二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）∵f（x）=x|x-2a|-2x，a=

1

2

，
∴f（x）=x|x-1|-2x
當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=x²-3x，
當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=-x²+x
函數(shù)y=f（x）-m有三個(gè)零點(diǎn)，
∴f（x）-m=0有三個(gè)實(shí)數(shù)根．
①x≥1時(shí)，x²-3x-m=0，△=9+4m，
當(dāng)9+4m＞0時(shí)，即m＞-

9

4

方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
當(dāng)9+4m=0，即m=-

9

4

方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
②x＜1時(shí)，-x²+x-m=0，即，x²-x+m=0，△=1-4m，
當(dāng)1-4m＞0時(shí)，即m＞

1

4

方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
當(dāng)1-4m=0，即m=

1

4

方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
綜上所述，當(dāng)m=

1

4

時(shí)，函數(shù)y=f（x）-m有三個(gè)零點(diǎn)
（2）①當(dāng)x≥2a時(shí)，f（x）=x²-2（a+1）x=[x-（a+1）]²-（a+1）²，
x∈（-∞，a+1）時(shí)，f（x）為單調(diào)減函數(shù)，
x∈[a+1，2a]時(shí)，f（x）為單調(diào)增函數(shù)，
②當(dāng)x＜2a時(shí)，f（x）=-x²+2（a-1）x=-[x-（a-1）]²+（a-1）²，
x∈[a-1，2a）時(shí)，f（x）為單調(diào)減函數(shù)，
x∈（-∞，a-1）時(shí)，f（x）為單調(diào)增函數(shù)，

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)的問題和函數(shù)的單調(diào)性的問題，屬于中檔題．