Question

11．設(shè)f（x）=3ax²+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0．
（1）證明：a＞0且$-2＜\frac{a}＜-1$；
（2）試判斷函數(shù)f（x）在（0，1）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先由題中條件得到，c＞0，3a+2b+c＞0并結(jié)合已知a+b+c=0，可得a＞c＞0，a+b＜0，2a+b＞0，從而得證；
（2）該問注意f（0）＞0，f（1）＞0，顯然判斷在區(qū)間（0，1）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)不能用零點(diǎn)的存在性定理．結(jié)合二次函數(shù)的圖象考慮，看對(duì)稱軸位置及頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的正負(fù)即可判斷．

解答 證明：（1）因?yàn)閒（0）＞0，f（1）＞0，所以c＞0，3a+2b+c＞0
由條件a+b+c=0消去b，得a＞c＞0，
由條件a+b+c=0消去c，得a+b＜0，2a+b＞0，
故$-2＜\frac{a}＜-1$；
（2）拋物線f（x）=3ax²+2bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為$（-\frac{3a}，\frac{{3ac-{b^2}}}{3a}）$
在$-2＜\frac{a}＜-1$的兩邊乘以$-\frac{1}{3}$，得$\frac{1}{3}＜-\frac{3a}＜\frac{2}{3}$
又因?yàn)閒（0）＞0，f（1）＞0，而$f（-\frac{3a}）=-\frac{{{a^2}+{c^2}-ac}}{3a}＜0$
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間$（0，-\frac{3a}）$和$（-\frac{3a}，1）$內(nèi)分別有一個(gè)零點(diǎn)
故函數(shù)f（x）在（0，1）上有兩個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于判斷函數(shù)在某區(qū)間（如區(qū)間（a，b））內(nèi)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，高中階段一般是函數(shù)在該區(qū)間連續(xù)，接下來應(yīng)先看函數(shù)在該區(qū)間的單調(diào)性，如果單調(diào)遞增（或單調(diào)遞減）且a，b對(duì)應(yīng)的函數(shù)值正負(fù)相反，則在該區(qū)間有一個(gè)零點(diǎn)；如果在該區(qū)間不單調(diào)，則應(yīng)結(jié)合函數(shù)的圖象特征做出全面的判斷．例如，本題函數(shù)在區(qū)間（0，1）的兩端點(diǎn)函數(shù)值同正且二次函數(shù)圖象開口向上，所以應(yīng)從對(duì)稱軸位置入手，若對(duì)稱軸在直線x=0的左邊或直線x=1的右邊則無零點(diǎn)；若對(duì)稱軸在（0，1）之間，則看頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的值，當(dāng)縱坐標(biāo)為0，則有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)縱坐標(biāo)為正，無零點(diǎn)；當(dāng)縱坐標(biāo)為負(fù)，則有兩個(gè)零點(diǎn)．