Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²+lnx．
（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值及最大值
（2）求證：在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象在函數(shù)g（x）=$\frac{2}{3}$x³的圖象的下方．

Answer 1

分析 （1）先求導，由導數(shù)研究函數(shù)的單調、極值，計算端點函數(shù)值，比較極值與端點函數(shù)值，進而求出函數(shù)的最大值、最小值；
（2）構造函數(shù)設F（x）=$\frac{1}{2}$x²+lnx-$\frac{2}{3}$x³，利用導數(shù)可知函數(shù)F（x）的單調性為遞減，從而可得F（x）＜F（1）=0可證．

解答 解：（1）由f（x）=$\frac{1}{2}$x²+lnx有f′（x）=x+$\frac{1}{x}$，
當x∈[1，e]時，f′（x）＞0
∴f（x）_max=f（e）=$\frac{1}{2}$e²+1，
f（x）_min=f（1）=$\frac{1}{2}$，
（2）設F（x）=$\frac{1}{2}$x²+lnx-$\frac{2}{3}$x³，
則F′（x）=x+$\frac{1}{x}$-2x²=$\frac{（1-x）（1+x+{2x}^{2}）}{x}$，
當x∈[1，+∞）時，F(xiàn)′（x）＜0，
且F（1）=-$\frac{1}{6}$＜0故x∈[1，+∞）時F（x）＜0
∴$\frac{1}{2}$x²+lnx＜$\frac{2}{3}$x³，得證．

點評 本題主要考查了導數(shù)的應用：求單調區(qū)間，求極值、最值，利用單調性證明不等式，解（2）的關鍵是構造函數(shù)，轉化為研究函數(shù)的單調性．