Question

設(shè)定義域為（0，+∞）的單調(diào)函數(shù)f（x），對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₂^x]=6，若x₀是方程f（x）-f′（x）=4的一個解，且x₀∈（a，a+1）（a∈N^*），則a=________．

Answer 1

1
分析：由題意可得f（x）-log₂x為定值，設(shè)為t，代入可得t=4，進(jìn)而可得函數(shù)的解析式，化方程有解為函數(shù)F（x）=f（x）-f′（x）-4=log₂x-有零點，易得F（1）＜0，F(xiàn)（2）＞0，由零點的判定可得答案．
解答：根據(jù)題意，對任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-log₂x]=6，
又由f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，
則f（x）-log₂x為定值，
設(shè)t=f（x）-log₂x，則f（x）=t+log₂x，
又由f（t）=6，可得t+log₂t=6，
可解得t=4，故f（x）=4+log₂x，f′（x）=，
又x₀是方程f（x）-f′（x）=4的一個解，
所以x₀是函數(shù)F（x）=f（x）-f′（x）-4=log₂x-的零點，
分析易得F（1）=-＜0，F(xiàn)（2）=1-=1-＞0，
故函數(shù)F（x）的零點介于（1，2）之間，故a=1，
故答案為：1
點評：本題考查函數(shù)的零點的判斷，涉及導(dǎo)數(shù)的運算和性質(zhì)，屬中檔題．