Question

如圖，已知兩個正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高都是2，AB=4。

（1）證明PQ⊥平面ABCD；
（2）求異面直線AQ與PB所成的角；
（3）求點P到平面QAD的距離。

Answer 1

解：（1）連結AC、BD，設 由P-ABCD與Q-ABCD都是正四棱錐， 所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD 從而P、O、Q三點在一條直線上， 所以PQ⊥平面ABCD。 （2）由題設知，ABCD是正方形， 所以AC⊥BD 由（1），QO⊥平面ABCD 故可分別以直線CA、DB、QP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系（如圖）， 由題條件，相關各點的坐標分別是P（0，0，2），A（，0，0），Q（0，0，-2），B（0，，0） 所以， 于是 從而異面直線AQ與PB所成的角是。
（3）由（2），點D的坐標是（0，-，0），，， 設是平面QAD的一個法向量， 由得 取x=1，得 所以點P到平面QAD的距離。