Question

12．在銳角△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，且$\sqrt{3}$a=2csinA，c=$\sqrt{7}$，且△ABC的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，則a+b=5．

Answer 1

分析 利用正弦定理將邊化角求出sinC，根據(jù)面積公式求出ab，代入余弦定理得出（a+b）的值．

解答 解：∵$\sqrt{3}$a=2csinA，∴$\sqrt{3}$sinA=2sinCsinA，∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，∴ab=6．
∵△ABC是銳角三角形，∴cosC=$\frac{1}{2}$，
由余弦定理得：cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{（a+b）^{2}-2ab-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{（a+b）^{2}-19}{12}$=$\frac{1}{2}$，
解得a+b=5．
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式，屬于中檔題．