Question

20．為了抓住將到來(lái)的“五一”小長(zhǎng)假旅游商機(jī)，某商店決定購(gòu)進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品，若購(gòu)進(jìn)A種紀(jì)念品8件，B種紀(jì)念品3件，需要95元，若購(gòu)進(jìn)A中紀(jì)念品5件，B種紀(jì)念品6件，需要80元．
（1）求購(gòu)進(jìn)A、B兩種紀(jì)念品每件各需多少元？
（2）若該商店決定購(gòu)進(jìn)這兩種紀(jì)念品共100件，考慮市場(chǎng)需求和資金周轉(zhuǎn)，用于購(gòu)買(mǎi)這100件紀(jì)念品的資金不少于750元，但不超過(guò)764元，請(qǐng)分別寫(xiě)出該商店有幾種進(jìn)貨方案？
（3）已知商家出售一件A種紀(jì)念品可獲利a元，出售一件B種紀(jì)念品可獲利（5-a）元，并且商家出售的紀(jì)念品均不低于成本．問(wèn)：在（2）的條件下，商家采用哪種方案可獲利最多？

Answer 1

分析 （1）列方程組解出；
（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)A紀(jì)念品x件，用x表示進(jìn)貨費(fèi)用，列出不等式得出x的范圍；
（3）將總利潤(rùn)y表示成所進(jìn)A紀(jì)念品件數(shù)x的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷那種方案利潤(rùn)最大．

解答 解：（1）設(shè)購(gòu)進(jìn)A，B兩種紀(jì)念品各需x元，y元，
則$\left\{\begin{array}{l}{8x+3y=95}\\{5x+6y=80}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=10}\\{y=5}\end{array}\right.$．
答：購(gòu)進(jìn)A，B兩種紀(jì)念品各需10元，5元．
（2）設(shè)商家購(gòu)進(jìn)A紀(jì)念品x件，則購(gòu)進(jìn)B紀(jì)念品（100-x）件，
則750≤10x+5（100-x）≤764，
解得50≤x≤52.8．
∵x∈N，∴x=50或x=51或x=52．
∴商店有三種進(jìn)貨方案，
第一種方案：購(gòu)進(jìn)A紀(jì)念品50件，B紀(jì)念品50件，
第二種方案：購(gòu)進(jìn)A紀(jì)念品51件，B紀(jì)念品49件，
第三種方案：購(gòu)進(jìn)A紀(jì)念品52件，B紀(jì)念品48件．
（3）設(shè)商家購(gòu)進(jìn)x件A紀(jì)念品，所獲利潤(rùn)為y，
則y=ax+（100-x）（5-a）=（2a-5）x+500-100a．
∵商家出售的紀(jì)念品均不低于成本，∴$\left\{\begin{array}{l}{a≥0}\\{5-a≥0}\end{array}\right.$，即0≤a≤5．
①若2a-5＞0即$\frac{5}{2}＜a$≤5，則y=（2a-5）x+500-100a是增函數(shù)．
∴購(gòu)進(jìn)52件A紀(jì)念品，48件B紀(jì)念品獲利最大．
②若2a-5＜0，即0≤a$＜\frac{5}{2}$，則y=（2a-5）x+500-100a是減函數(shù)
∴購(gòu)進(jìn)50件A紀(jì)念品，50件B紀(jì)念品獲利最大．
③若2a-5=0，即a=$\frac{5}{2}$時(shí)，則y為常數(shù)函數(shù)，
∴三種進(jìn)貨方案獲利相同．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二元一次方程與不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．