Question

20．為了抓住將到來的“五一”小長假旅游商機，某商店決定購進A、B兩種紀念品，若購進A種紀念品8件，B種紀念品3件，需要95元，若購進A中紀念品5件，B種紀念品6件，需要80元．
（1）求購進A、B兩種紀念品每件各需多少元？
（2）若該商店決定購進這兩種紀念品共100件，考慮市場需求和資金周轉，用于購買這100件紀念品的資金不少于750元，但不超過764元，請分別寫出該商店有幾種進貨方案？
（3）已知商家出售一件A種紀念品可獲利a元，出售一件B種紀念品可獲利（5-a）元，并且商家出售的紀念品均不低于成本．問：在（2）的條件下，商家采用哪種方案可獲利最多？

Answer 1

分析 （1）列方程組解出；
（2）設購進A紀念品x件，用x表示進貨費用，列出不等式得出x的范圍；
（3）將總利潤y表示成所進A紀念品件數x的函數，根據函數的單調性判斷那種方案利潤最大．

解答 解：（1）設購進A，B兩種紀念品各需x元，y元，
則$\left\{\begin{array}{l}{8x+3y=95}\\{5x+6y=80}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=10}\\{y=5}\end{array}\right.$．
答：購進A，B兩種紀念品各需10元，5元．
（2）設商家購進A紀念品x件，則購進B紀念品（100-x）件，
則750≤10x+5（100-x）≤764，
解得50≤x≤52.8．
∵x∈N，∴x=50或x=51或x=52．
∴商店有三種進貨方案，
第一種方案：購進A紀念品50件，B紀念品50件，
第二種方案：購進A紀念品51件，B紀念品49件，
第三種方案：購進A紀念品52件，B紀念品48件．
（3）設商家購進x件A紀念品，所獲利潤為y，
則y=ax+（100-x）（5-a）=（2a-5）x+500-100a．
∵商家出售的紀念品均不低于成本，∴$\left\{\begin{array}{l}{a≥0}\\{5-a≥0}\end{array}\right.$，即0≤a≤5．
①若2a-5＞0即$\frac{5}{2}＜a$≤5，則y=（2a-5）x+500-100a是增函數．
∴購進52件A紀念品，48件B紀念品獲利最大．
②若2a-5＜0，即0≤a$＜\frac{5}{2}$，則y=（2a-5）x+500-100a是減函數
∴購進50件A紀念品，50件B紀念品獲利最大．
③若2a-5=0，即a=$\frac{5}{2}$時，則y為常數函數，
∴三種進貨方案獲利相同．

點評 本題考查了二元一次方程與不等式的應用，屬于中檔題．