Question

已知函數(shù)f(x)＝ax2－(a＋2)x＋lnx.

(1)當a＝1時，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；

(2)當a>0時，若f(x)在區(qū)間[1，e]上的最小值為－2，求a的取值范圍．

 

Answer 1

（1）y＝－2 （2）[1，＋∞)

【解析】【解析】
(1)當a＝1時，f(x)＝x2－3x＋lnx，f′(x)＝2x－3＋.

因為f′(1)＝0，f(1)＝－2，

所以切線方程是y＝－2.

(2)函數(shù)f(x)＝ax2－(a＋2)x＋lnx的定義域是(0，＋∞)．

當a>0時，f′(x)＝2ax－(a＋2)＋＝ (x>0)．

令f′(x)＝0，即f′(x)＝＝＝0，

得x＝或x＝.

當0<≤1，即a≥1時，f(x)在[1，e]上單調(diào)遞增，

所以f(x)在[1，e]上的最小值是f(1)＝－2；

當1<<e時，f(x)在[1，e]上的最小值f()<f(1)＝－2，不合題意；

當≥e時，f(x)在[1，e]上單調(diào)遞減．

所以f(x)在[1，e]上的最小值f(e)<f(1)＝－2，不合題意．

綜上a的取值范圍為[1，＋∞)．