Question

有四個數(shù)，其中前三個數(shù)成等差數(shù)列，后三個數(shù)成等比數(shù)列，并且第一個數(shù)與第四個數(shù)是28，中間兩數(shù)的和是10，求這四個數(shù)．

Answer 1

考點：等差數(shù)列的通項公式,等比數(shù)列的通項公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：本題根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念，利用等差數(shù)列、等比數(shù)列中的對稱性質(zhì)設(shè)出這四個數(shù)，以減少運算量．

解答： 解法一：設(shè)這四個數(shù)依次為a-d，a，a+d，

(a+d)2

a

，
由已知得

a-d+ (a+d)2 a =28 a+(a+d)=10

，
解得

a=2 d=6

或

a= 25 2 d=-15

．∴當(dāng)a=4，d=6時，所求四個數(shù)為-2，4，10，25；
當(dāng)a=

25

2

，d=-15時，所求四個數(shù)為

55

2

，

25

2

，-

5

2

，

1

2

．
故所求四個數(shù)為-2，4，10，25或

55

2

，

25

2

，-

5

2

，

1

2

．

點評：等比數(shù)列的“對稱設(shè)項”方法為：當(dāng)項數(shù)n為奇數(shù)時，先設(shè)中間一個數(shù)為a，再以公比為q向兩邊對稱地依次設(shè)項即可，如三個數(shù)成等比數(shù)列，可設(shè)為

a

q

，a，aq；當(dāng)項數(shù)n為偶數(shù)且公比大于0時，先設(shè)中間兩個數(shù)為

a

q

和aq，再以公比為q²向兩邊對稱地依次地設(shè)項即可，如四個數(shù)成等比數(shù)列可設(shè)為

a

q3

，

a

q

，aq，aq³，對稱設(shè)項法的好處在于它具有對稱性，特別是當(dāng)已知數(shù)列的積時，利用對稱設(shè)項法可很快地求出a，從而進一步減少了未知數(shù)的個數(shù)，該題是中檔題．