Question

12．已知函數(shù)f（x）=lnx+ax（a∈R）．
（I）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間[e，e²]內(nèi)的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時，函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{2}{t}$x²只有一個零點，求正數(shù)t的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）問題等價于2x²-tlnx-tx=0只有唯一正實數(shù)解．，設(shè)h（x）=2x²-tlnx-tx，求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論h（x）的單調(diào)性，求出t的值即可．

解答 解：（I）由已知可得$f'（x）=\frac{1}{x}+a=\frac{ax+1}{x}（x∈[e，{e^2}]）$，…（1分）
①當(dāng)a≥0時，$f'（x）=\frac{ax+1}{x}≥0$在區(qū)間[e，e²]內(nèi)恒成立，
∴f（x）在[e，e²]上遞增；
②當(dāng)a＜0時，$f'（x）=a•\frac{{[x-（-\frac{1}{a}）]}}{x}$，
（�。┊�(dāng)$-\frac{1}{a}≤e，即a≤-\frac{1}{e}時$，f′（x）≤0在區(qū)間[e，e²]內(nèi)恒成立，
∴f（x）在[e，e²]上遞減；
（ⅱ）當(dāng)$-\frac{1}{a}≥{e^2}，即-\frac{1}{e^2}≤a＜0時$，f′（x）≥0在區(qū)間[e，e²]內(nèi)恒成立，
∴f（x）在[e，e²]上遞增；
（ⅲ）當(dāng)$e＜-\frac{1}{a}＜{e^2}，即-\frac{1}{e}＜a＜-\frac{1}{e^2}時$，f′（x）在區(qū)間$[e，-\frac{1}{a}]$內(nèi)大于0，
∴f（x）在$[e，-\frac{1}{a}]$上遞增，f′（x）在區(qū)間$（-\frac{1}{a}，{e^2}]$內(nèi)小于0，
∴f（x）在$[e，-\frac{1}{a}]$上遞減．…（4分）
綜上所述：
?當(dāng)$a≥-\frac{1}{e^2}時$，f（x）在區(qū)間[e，e²]上單調(diào)遞增；
?當(dāng)$a≤-\frac{1}{e}時$，f（x）在區(qū)間[e，e²]上單調(diào)遞減；
?當(dāng)$-\frac{1}{e}＜a＜-\frac{1}{e^2}時$，f（x）在區(qū)間$[e，-\frac{1}{a}]$上單調(diào)遞增，
在區(qū)間$（-\frac{1}{a}，{e^2}]$上單調(diào)遞減．…（5分）（注：每討論對其中的一種情況給1分）
（Ⅱ）∵$函數(shù)g（x）=f（x）-\frac{2}{t}{x^2}$只有一個零點，
等價于方程$f（x）-\frac{2}{t}{x^2}=0$只有一個實數(shù)解，
即2x²-tlnx-tx=0只有唯一正實數(shù)解．
設(shè)h（x）=2x²-tlnx-tx，
則${h^'}（x）=4x-\frac{t}{x}-t=\frac{{4{x^2}-tx-t}}{x}$，
令h′（x）=0，4x²-tx-t=0，
∵x＞0，t＞0，解得：${x_1}=\frac{{t-\sqrt{{t^2}+16t}}}{8}（舍去）$，${x_2}=\frac{{t+\sqrt{{t^2}+16t}}}{8}$，…（7分）
當(dāng)x∈（0，x₂）時，h′（x）＜0，則h（x）在x∈（0，x₂）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（x₂，+∞）時，h′（x）＞0，則h（x）在x∈（x₂，+∞）上單調(diào)遞增；
∴h（x）的最小值為h（x₂）．…（8分）
要使得方程2x²-tlnx-tx=0只有唯一實數(shù)解，
則$\left\{\begin{array}{l}{h{（x}_{2}）=0}\\{h′{（x}_{2}）=0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{{{2x}_{2}}^{2}-tl{nx}_{2}-{tx}_{2}=0}\\{{{4x}_{2}}^{2}-{tx}_{2}-t=0}\end{array}\right.$，
得2tlnx₂+tx₂-t=0∵t＞0，∴2lnx₂+x₂-1=0，…（10分）
設(shè)$m（x）=2lnx+x-1（x＞0），{m^'}（x）=\frac{2}{x}+1＞0$恒成立，
故m（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，m（x）=0至多有一解．又∵m（1）=0，
∴x₂=1，即$\frac{{t+\sqrt{{t^2}+16t}}}{8}=1$，解得t=2．…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道綜合題．