Question

設函數f(x)=

1+x2

1-x2

（1）判斷它的奇偶性；
（2）x≠0，求f(

1

x

)+f(x)的值．
（3）計算f(

1

5

)+f(

1

4

)+f(

1

3

)+f(

1

2

)+f（0）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）的值．

Answer 1

分析：（1）判斷函數的奇偶性，先看定義域，再看f（-x）與f（x）的關系，依據定義進行判斷．
（2）利用代換法化簡f（

1

x

）的解析式，看它與f（x）的關系．
（3）利用（2）中的結論進行運算．

解答：解：（1）∵函數的定義域{x|x≠±1}，f（-x）=f（x），∴f（x）是偶函數；（4分）
（2）f(

1

x

)=

1+ 1 x2

1- 1 x2

=

x2+1

x2-1

=-f(x)
所以f(

1

x

)+f(x)=0（8分）
（3）由（2）可得：f(

1

5

)+f(

1

4

)+f(

1

3

)+f(

1

2

)+f（0）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）
=0+0+0+0+0+f（0）=1（12分）

點評：本題考查函數奇偶性的判斷方法，以及求函數值問題．