Question

5．已知P是直線3x+4y+8=0上的動(dòng)點(diǎn)，PA、PB是圓x²+y²-2x-2y+1=0的切線，A、B是切點(diǎn)，C是圓心，那么四邊形PACB面積取得最小值時(shí)，AB的長是$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 由圓的方程為求得圓心C，半徑r，由“若四邊形面積最小，則圓心與點(diǎn)P的距離最小時(shí)，即距離為圓心到直線的距離時(shí)，切線長PA，PB最小”，最后將四邊形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形面積求解．

解答 解：∵圓的方程為：（x-1）²+（y-1）²=1，∴圓心C（1，1），半徑r=1；
根據(jù)題意，若四邊形面積最小，當(dāng)圓心與點(diǎn)P的距離最小時(shí)，
即距離為圓心到直線的距離時(shí)，切線長PA，PB最�。�
∵圓心C到直線3x+4y+8=0的距離為d=$\frac{|3×1+4×1+8|}{\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}}$=3
∴|PA|=|PB|=$\sqrt{0ggqyyy^{2}{-r}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}{-1}^{2}}$=2$\sqrt{2}$．
故四邊形PACB面積的最小值為
2S_△PAC=2×$\frac{1}{2}$×|PA|×r=2$\sqrt{2}$；
又AB⊥PC，|PC|=d=3，
∴$\frac{1}{2}$|AB|•d=2$\sqrt{2}$，
∴|AB|=$\frac{4\sqrt{2}}e4s8iyc$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
故答案為：$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，主要涉及了構(gòu)造四邊形及其面積的求法，解題的關(guān)鍵是“若四邊形面積最小，則圓心與點(diǎn)P的距離最小時(shí)，即距離為圓心到直線的距離時(shí)，切線長PA，PB最小”，是綜合性題目．