Question

已知函數f（x）=lnx-；
（I）若a＞0，試判斷f（x）在定義域內的單調性；
（II）若f（x）在[1，e]上的最小值為，求a的值；
（III）若f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（I）由題意f（x）的定義域為（0，+∞），且f'（x）=…（2分）
∵a＞0，
∴f'（x）＞0，
故f（x）在（0，+∞）上是單調遞增函數 　　　　 …（4分）
（II）由（I）可知，f′（x）=．
（1）若a≥-1，則x+a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，此時f（x）在[1，e]上為增函數，
∴[f（x）]_min=f（1）=-a=，
∴a=-（舍去）　…（5分）
（2）若a≤-e，則x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，此時f（x）在[1，e]上為減函數，
∴[f（x）]_min=f（e）=1-（舍去）…（6分）
（3）若-e＜a＜-1，令f'（x）=0得x=-a，當1＜x＜-a時，f'（x）＜0，
∴f（x）在（1，-a）上為減函數，f（x）在（-a，e）上為增函數，
∴[f（x）]_min=f（-a）=ln（-a）+1=
∴[f（x）]_min=f（-a）=ln（-a）+1=
∴a=-．…（8分）
綜上所述，a=-．
（III）∵f（x）＜x²
∴l(xiāng)nx-
又x＞0，∴a＞xlnx-x³…（9分）
令g（x）=xlnx-x³，h（x）=g′（x）=1+lnx-3x²，
∴h'（x）=∵x∈（1，+∞）時，h'（x）＜0，
∴h（x）在（1，+∞）上是減函數，…（10分）
∴h（x）＜h（1）=-2＜0
即g'（x）＜0∴g（x）在（1，+∞）上也是減函數，
∴g（x）在（1，+∞）上是減函數
∴g（x）＜g（1）=-1
∴當a≥-1時，f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立．…（12分）
∴a≥-1
分析：（I）先確定函數f（x）的定義域，再求導函數，從而可判定f（x）在定義域內的單調性；
（II）由（I）可知，f′（x）=．再分類討論：a≥-1，f（x）在[1，e]上為增函數；a≤-e，f（x）在[1，e]上為減函數；e＜a＜-1，f（x）在（1，-a）上為減函數，f（x）在（-a，e）上為增函數，利用f（x）在[1，e]上的最小值為，可求a的值；
（III）先將不等式整理，再分離參數，構建新函數，利用單調性求出函數值的范圍，即可求出a的取值范圍．
點評：本題重點考查函數的單調性，考查函數的最值，考查恒成立問題，解題的關鍵是運用導數，確定函數的單調性，運用分離參數法求解恒成立問題．