Question

給出下列四個(gè)命題：
①已知a，b，m都是正數(shù)，且

a+m

b+m

＞

a

b

，則a＜b；
②已知a、b、c成等比數(shù)列，a、x、b成等差數(shù)列，b、y、c也成等差數(shù)列，則

a

x

+

c

y

的值等于2；
③函數(shù)y=tanx的圖象關(guān)于點(diǎn)（kπ，0），（k∈Z）對(duì)稱；
④關(guān)于x的不等式|x+1|+|x-3|≥m的解集為R，則m≤4；
其中為真命題的序號(hào)是

①②③④

．

Answer 1

分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是，判斷命題真假，比較綜合的考查了三角函數(shù)、數(shù)列和不等式的一些性質(zhì)．
命題①根據(jù)a，b，m都是正數(shù)這一特點(diǎn)，兩邊同乘b（b+m）；
命題②根據(jù)等比和等差中項(xiàng)的概念，得出各字母間的關(guān)系，然后同分代值即可；
命題③只需把點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式驗(yàn)證；
命題④若分段求解較為繁雜，可利用絕對(duì)值的幾何意義求出不等式左側(cè)的范圍．

解答：解：①∵a，b，m都是正數(shù)，則由

a+m

b+m

＞

a

b

⇒b（a+m）＞a（b+m），∴ab+bm＞ab+am，即bm＞am，則a＜b，故命題①正確．
②由a、b、c成等比數(shù)列，a、x、b成等差數(shù)列，b、y、c也成等差數(shù)列，得b²=ac，2x=a+b，2y=b+c，后兩式相乘得4xy=ab+b²+ab+bc=ab+2ac+bc，
所以

a

x

+

c

y

=

ay+cx

xy

=

a b+c 2 +c a+b 2

xy

=

ab+2ac+bc 2

xy

=

ab+2ac+bc

2xy

=

4xy

2xy

=2，所以命題②正確．
③∵y=tankπ=0，函數(shù)y=tanx的圖象關(guān)于點(diǎn)（kπ，0），（k∈Z）對(duì)稱，所以命題③正確．
④令y=|x+1|+|x-3|，根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，|x+1|+|x-3|可看作數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)X到兩實(shí)數(shù)-1和2所對(duì)應(yīng)兩定點(diǎn)的距離，所以y_min=4，
那么要使不等式|x+1|+|x-3|≥m的解集為R，則m≤4，所以命題④正確．
故答案為①②③④．

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于命題②的計(jì)算，通分后的分子采用了整體代換，使運(yùn)算過程得到了簡(jiǎn)化；
命題④中運(yùn)用了絕對(duì)值的幾何意義，含絕對(duì)值不等式的求解，有時(shí)考慮到絕對(duì)值的幾何意義，可使解題過程大大簡(jiǎn)化．