Question

【題目】已知動圓過定點且在軸上截得的弦長為4。

（1）求動圓的圓心的軌跡的方程；

（2）過點的動直線與曲線交于兩點，點在曲線上，使得的重心在軸上，直線交軸于點，且點在點的右側(cè)，記的面積為的面積為，求的最小值。

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）由曲線與方程的關(guān)系可得：，化簡可得軌跡的方程；

（2）分別設(shè),,,， 聯(lián)立直線與拋物線方程，求得各點坐標(biāo)，再結(jié)合三角形面積公式及均值不等式求的最小值即可.

解：（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為,

由已知有：，

化簡得：，

軌跡的方程為；

（2）設(shè),,,，

令，則

由于直線過點，則直線的方程為，

代入得：，

即，即, 即 ,

又由于， ，

且的重心在軸上，

則 ，

則=,則

則=，

所以，

所以直線的方程為，

令得：，即，

由于點在點的右側(cè)，

則，即，

則===2-，

令，

則 ===，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，

故的最小值為.