Question

（2012•廈門模擬）如圖，射線y=

3

x(x≥0)上的點(diǎn)A₁，A₂，…，A_n，其中A₁（1，

3

），A₂（2，2

3

），且|AnAn+1|=

1

2

|An-1An|(n=2，3，4，…)．則An的橫坐標(biāo)是

3-(

1

2

)n-2

．

Answer 1

分析：設(shè)A_n（x_n，

3

xn），則A_n+1（x_n+1，

3

x_n+1），依題意可求得

xn+1-xn

xn-xn-1

=

1

2

，利用等比數(shù)列的性質(zhì)可求得{x_n+1-x_n}的通項公式，再利用累加法即可求得A_n的橫坐標(biāo)．

解答：解：∵A₁，A₂，…，A_n為射線y=

3

x(x≥0)上的點(diǎn)，
∴設(shè)A_n（x_n，

3

xn），則A_n+1（x_n+1，

3

x_n+1），
∵|AnAn+1|=

1

2

|An-1An|(n=2，3，4，…)
∴

xn+1-xn

xn-xn-1

=

1

2

，又x₂-x₁=1，
∴{x_n+1-x_n}為首項是1，

1

2

為公比的等比數(shù)列，
∴x_n+1-x_n=(

1

2

)n-1，
∴x_n=x₁+（x₂-x₁）+…+（x_n-x_n-1）=1+1+

1

2

+…+(

1

2

)n-2=3-(

1

2

)n-2
故答案為：3-(

1

2

)n-2

點(diǎn)評：本題考查簡單的合情推理，考查兩點(diǎn)間的距離公式，著重考查等比數(shù)列的通項公式及其應(yīng)用，考查累加法求和，綜合性強(qiáng)，屬于難題．