Question

8．若函數(shù)f（x）對?x₁，x₂∈（0，+∞），有f（x₁）＞0，f（x₂）＞0，且f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）成立，則稱函數(shù)f（x）為“守法函數(shù)”．給出下列四個函 數(shù)：①y=x²     ②y=log₂（x+1）③y=2^x-1      ④y=cosx ⑤y=$\frac{1}{x}$
其中“守法函數(shù)”是①③．（寫出所有符合要求的函數(shù)的編號）

Answer 1

分析 分別判斷5個函數(shù)是否滿足兩個條件f（x₁）＞0，f（x₂）＞0和f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）成立，然后確定“守法函數(shù)的序號”．

解答 解：①函數(shù)y=x²，當x＞0時，y＞0
f（x₁）+f（x₂）-f（x₁+x₂）=${{x}_{1}}^{2}$+x₂²-（x₁+x₂）²=-2x₂x_1^＜0
∴f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）
故①是“守法函數(shù)”；
②若f（x）=log₂（x+1），對于任意x₁＞0，x₂＞0都有f（x₁）＞0，f（x₂）＞0，
設(shè)x₁=x₂=1，則f（x₁）+f（x₂）=1+1=2，
而f（x₁+x₂）=log₂3＜2，
所以f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）不成立，
所以②不是“守法函數(shù)”．
③若f（x）=2^x-1，對于任意x₁＞0，x₂＞0都有f（x₁）＞0，f（x₂）＞0，
f（x₁）+f（x₂）-f（x₁+x₂）=2^x₁-1+2^x₂-1-2^x₁+x₂₊1＜0，
則③是“守法函數(shù)”．
④若f（x）=cosx，因為f（x）=cosx∈[-1，1]，
所以任意x₁＞0，x₂＞0，f（x₁）＞0，f（x₂）＞0不一定成立，
所以④不是“守法函數(shù)”；
⑤函數(shù)y=$\frac{1}{x}$，?x₁，x₂∈（0，+∞），有f（x₁）＞0，f（x₂）＞0，
而f（x₁）+f（x₂）-f（x₁+x₂）=$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{{x}_{1}+x}_{2}}$=$\frac{{{x}_{1}x}_{2}{{+x}_{1}}^{2}{{+x}_{2}}^{2}}{{{{x}_{2}x}_{1}（x}_{1}{+x}_{2}）}$＞0，
故⑤不是“守法函數(shù)”；
故答案為：①③．

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及值域，運算量較大，綜合性較強．