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5.設(shè)F1,F(xiàn)2分別是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點,若雙曲線右支上存在一點P,使得(OP$+$OF2)•F2P=0,其中O為坐標(biāo)原點,且|PF1|=2|PF2|,則該雙曲線的離心率為( �。�
A.233B.3+1C.52D.5

分析 運用向量的減法和數(shù)量積的性質(zhì):向量的平方即為模的平方,可得|OP|=|OF2|=|OF1|=c,即有PF1⊥PF2,由雙曲線的定義結(jié)合條件,可得|PF1|=4a,|PF2|=2a,運用勾股定理可得2c=25a,由離心率公式可得.

解答 解:OP+OF2F2P=0,即為
OP+OF2)•(OP-OF2)=0,
即有OP2-OF22=0,
可得|OP|=|OF2|=|OF1|=c,
即有PF1⊥PF2
由雙曲線的定義可得|PF1|-|PF2|=2a,
又|PF1|=2|PF2|,
可得|PF1|=4a,|PF2|=2a,
由勾股定理可得|F1F2|=16a2+4a2=25a,
即有2c=25a,
即e=ca=5
故選:D.

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法,注意運用雙曲線的定義和向量數(shù)量積的性質(zhì),考查運算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

15.已知F1、F2為雙曲線x216-y2=1的左右焦點,點Pi(xi,0)與Pi′(xi′,0)(i=1,2,3,…,10)滿足F1Pi+F2Pi=0,且xi<-4,過Pi做x軸的垂線交雙曲線的上半部分于Qi點,過Pi′做x軸的垂線交雙曲線的上半部分于Qi′點,若|F1Q1|+|F1Q2|+…+|F1Q10|=m,則|F1Q1′|+|F1Q2′|+…+|F1Q10′|=80+m.

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16.如圖所示,雙曲線x2a2-y22=1(a>0,b>0)的右焦點為F,左、右頂點為A,B過F作x軸的垂線與雙曲線交于C,D兩點,若AC⊥BD,則該雙曲線的離心率等于( �。�
A.3B.2C.3D.2

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13.已知F1,F(xiàn)2分別是雙曲線C:x2a2-y22=1(a>0,b>0)的左右焦點,過F1的直線與雙曲線C的右支交于點P,若線段F1P的中點Q恰好在雙曲線C的一條漸近線,且F1PF2P=0,則雙曲線的離心率為5

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10.已知O為坐標(biāo)原點,雙曲線Cx2a2y2=1a0上有一點P,過點P作雙曲線C的兩條漸近線的平行線,與兩漸近線的交點分別為A,B,若平行四邊形OAPB的面積為1,則雙曲線C的離心率為( �。�
A.2B.3C.2D.52

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17.已知雙曲線以銳角△ABC的頂點B,C為焦點,且經(jīng)過點A,若△ABC內(nèi)角的對邊分別為a、b、c,且a=2,b=3,csinAa=32,則此雙曲線的離心率為( �。�
A.3+72B.372C.3-7D.3+7

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14.已知雙曲線x2a2-y22=1(a>0)的離心率為3,則該雙曲線的漸近線方程為( �。�
A.y=±2xB.y=±2xC.y=±12xD.y=±22x

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15.以直線y=±3x為漸近線的雙曲線的離心率為(  )
A.2B.233C.2或233D.3

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