Question

5．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點，若雙曲線右支上存在一點P，使得（${\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F_2}}}$）•$\overrightarrow{{F_2}P}$=0，其中O為坐標(biāo)原點，且|${\overrightarrow{P{F_1}}}$|=2|${\overrightarrow{P{F_2}}}$|，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． $\sqrt{3}$+1
• C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 運用向量的減法和數(shù)量積的性質(zhì)：向量的平方即為模的平方，可得|$\overrightarrow{OP}$|=|$\overrightarrow{O{F}_{2}}$|=|$\overrightarrow{O{F}_{1}}$|=c，即有PF₁⊥PF₂，由雙曲線的定義結(jié)合條件，可得|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，運用勾股定理可得2c=2$\sqrt{5}$a，由離心率公式可得．

解答 解：$（{\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{O{F_2}}}）•\overrightarrow{{F_2}P}=0$，即為
（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）•（$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{O{F}_{2}}$）=0，
即有$\overrightarrow{OP}$²-$\overrightarrow{O{F}_{2}}$²=0，
可得|$\overrightarrow{OP}$|=|$\overrightarrow{O{F}_{2}}$|=|$\overrightarrow{O{F}_{1}}$|=c，
即有PF₁⊥PF₂，
由雙曲線的定義可得|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|-|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|=2a，
又|$\overrightarrow{P{F}_{1}}$|=2|$\overrightarrow{P{F}_{2}}$|，
可得|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，
由勾股定理可得|F₁F₂|=$\sqrt{16{a}^{2}+4{a}^{2}}$=2$\sqrt{5}$a，
即有2c=2$\sqrt{5}$a，
即e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用雙曲線的定義和向量數(shù)量積的性質(zhì)，考查運算能力，屬于中檔題．