Question

已知f（x）=3^2x-（k+1）3^x-2，當(dāng)x∈[1，+∞]時(shí)，f（x）恒為正值，則k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先換元，令3^x=t，得到函數(shù)g（t）=t²-（k+1）t-2，t≥3，該函數(shù)為二次函數(shù)，所以討論對(duì)稱軸和3的關(guān)系，從而求出g（t）的最小值．根據(jù)已知條件，需滿足最小值大于0，所以讓最小值大于0求k的取值范圍即可．

解答： 解：設(shè)3^x=t，g（t）=t²-（k+1）t-2，t≥3；
該函數(shù)的對(duì)稱軸為x=

k+1

2

；
∴①若

k+1

2

＞3，g（t）的最小值為

-8-(k+1)2

4

＜0，不符合f（x）恒為正值；
②若

k+1

2

≤3，即k≤5，g（t）在[3，+∞）上單調(diào)遞增；
∴g（t）在[3，+∞）上的最小值為g（3）=4-3k；
由f（x）恒為正值知g（t）在[3，+∞）上恒為正值；
∴只要4-3k＞0，即k＜

4

3

；
∴k＜

4

3

；
綜上得k的取值范圍是（-∞，

4

3

）．
故答案為：（-∞，

4

3

）．

點(diǎn)評(píng)：考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的最小值，以及換元解決問(wèn)題的方法．