Question

3．如已知a_n=$\frac{n}{{n}^{2}+156}$（n∈N^*），則數(shù)列{a_n}的最大項為12項或13項．

Answer 1

分析 本題考查的知識點是數(shù)列的函數(shù)特性，由數(shù)列的通項公式，我們利用函數(shù)求最值的方法及給出數(shù)列的最大項，但要注意數(shù)列中自變量n∈N⁺的限制．

解答 解：∵a_n=$\frac{n}{{n}^{2}+156}$=$\frac{1}{n+\frac{156}{n}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{n•\frac{156}{n}}}$=$\frac{1}{4\sqrt{39}}$，當(dāng)且僅當(dāng)n=2$\sqrt{39}$時取等，
又由n∈N⁺，
故數(shù)列{a_n}的最大項可能為第12項或第13項．
又∵當(dāng)n=12時，a₁₂=$\frac{12}{1{2}^{2}+156}$=$\frac{1}{25}$
又∵當(dāng)n=13時，a₁₃=$\frac{13}{1{3}^{2}+156}$=$\frac{1}{25}$
故第12項或第13項均為最大項，
故答案為：12項或13項．

點評 本題考查了數(shù)列的單調(diào)性、基本不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．