Question

6．在△ABC中，內角A、B、C的對邊分別是a、b、c，若a+b≥2c，則∠C的最大度數是（　�。�

• A． 30°
• B． 60°
• C． 120°
• D． 150°

Answer 1

分析 先將已知不等式，兩邊平方，可得c²≤$\frac{{a}^{2}+^{2}}{4}$+$\frac{ab}{2}$，由余弦定理可得：cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，從而可得cosC≥$\frac{{a}^{2}+^{2}-（\frac{{a}^{2}+^{2}}{4}+\frac{ab}{2}）}{2ab}$=$\frac{3（{a}^{2}+^{2}）}{8ab}$-$\frac{ab}{4ab}$，利用基本不等式可得，cosC≥$\frac{1}{2}$，由余弦函數的圖象和性質，結合范圍C∈（0，180°）即可求得∠C的最大度數．

解答 解：在△ABC中，∵a+b≥2c，
∴兩邊平方，可得：c²≤$\frac{（a+b）^{2}}{4}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{4}$+$\frac{ab}{2}$，
∴由余弦定理可得：cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$≥$\frac{{a}^{2}+^{2}-（\frac{{a}^{2}+^{2}}{4}+\frac{ab}{2}）}{2ab}$=$\frac{\frac{3（{a}^{2}+^{2}）}{4}-\frac{ab}{2}}{2ab}$=$\frac{3（{a}^{2}+^{2}）}{8ab}$-$\frac{ab}{4ab}$≥$\frac{3×2ab}{8ab}$-$\frac{1}{4}$（當且僅當a=b時等號成立）=$\frac{1}{2}$，
∵C∈（0，180°），
∴0＜C≤60°，
故選：B．

點評 本題主要考查了余弦定理，基本不等式，余弦函數的圖象和性質在解三角形中的應用，考查了轉化思想和數形結合思想的應用，屬于中檔題．