Question

3．設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，已知a₁=2，a_n+1=S_n+2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）令b_n=（2n-1）•a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）b_n=（2n-1）•2ⁿ．利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=2，a_n+1=S_n+2．
∴a₂=4，n≥2時，a_n=S_n-1+2，可得a_n+1-a_n=a_n，即a_n+1=2a_n，n=1時也滿足．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項為2，公比為2．
∴a_n=2ⁿ．
（2）b_n=（2n-1）•a_n=（2n-1）•2ⁿ．
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=2+3×2²+…+（2n-1）•2ⁿ，
2T_n=2²+3×2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2（2²+2³++…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=2×$\frac{2×（{2}^{n}-1）}{2-1}$-2-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=（3-2n）•2ⁿ⁺¹-6，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．