Question

已知{f_n（x）}滿足f₁（x）=

x

1+x2

（x＞0），f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，
（1）求f₂（x），f₃（x），并猜想f_n（x）的表達(dá)式；
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明對f_n（x）的猜想．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,歸納推理

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）依題意，計(jì)算f₂（x）=f₁[f₁（x）]可求得f₂（x），同理可求f₃（x）；
（2）由（1）可猜想fn(x)=

x

1+nx2

，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答： 解：（1）f2(x)=f1[f1(x)]=

f1(x)

1+f12(x)

=

x

1+2x2

---------------------1
f3(x)=f1[f2(x)]=

f2(x)

1+f22(x)

=

x

1+3x2

---------------------1
猜想：fn(x)=

x

1+nx2

，（n∈N^*）---------------------2
（2）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明fn(x)=

x

1+nx2

，（n∈N^*）
①當(dāng)n=1時(shí)，f1(x)=

x

1+x2

，顯然成立；--------------------1
②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時(shí)，猜想成立，即fk(x)=

x

1+kx2

，--------------------1
則當(dāng)n=k+1時(shí)，fk+1(x)=f1[fk(x)]=

x 1+kx2

1+( x 1+kx2 )2

=

x

1+(k+1)x2

即對n=k+1時(shí)，猜想也成立；
結(jié)合①②可知，猜想fn(x)=

x

1+nx2

對一切n∈N^*都成立．--------------------2

點(diǎn)評：本題考查歸納推理，著重考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，突出考查推理證明的能力，屬于中檔題．