Question

雙曲線(xiàn)C₁的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且過(guò)點(diǎn)A（

5

，

3

），雙曲線(xiàn)C₂中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，且過(guò)點(diǎn)B（

10

，

7

）．C₁的實(shí)軸長(zhǎng)等于C₂虛軸長(zhǎng)，C₁的虛軸長(zhǎng)等于C₂實(shí)軸長(zhǎng)，求雙曲線(xiàn)C₁、C₂的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題

分析：設(shè)C₁：

x2

a1

-

y2

b1

=1，C₂：

y2

a2

-

x2

b2

=1，由題意設(shè)a₁=b₂=a，a₂=b₁=b，則

5

a

-

3

b

=1，且

7

b

-

10

a

=1，由此能求出雙曲線(xiàn)C₁和C₂的方程．

解答： 解：設(shè)C₁：

x2

a1

-

y2

b1

=1，C₂：

y2

a2

-

x2

b2

=1，
由題意設(shè)a₁=b₂=a，a₂=b₁=b，
∵雙曲線(xiàn)C₁的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且過(guò)點(diǎn)A（

5

，

3

），
∴

5

a

-

3

b

=1，①
∵雙曲線(xiàn)C₂中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，且過(guò)點(diǎn)B（

10

，

7

），
∴

7

b

-

10

a

=1，②
由①②解得a=

1

2

，b=

1

3

．
∴雙曲線(xiàn)C₁：2x²-3y²=1，雙曲線(xiàn)C₂：3y²-2x²=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的靈活運(yùn)用．