Question

已知圓C：x²+y²-6x-4y+4=0，直線l₁被圓所截得的弦的中點為P（5，3）．
（1）求直線l₁的方程；
（2）若直線l₂：x+y+b=0與圓C相交于兩個不同的點，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）將圓C方程化為標準方程，找出圓心坐標與半徑r，根據(jù)垂徑定理得到直線CP與直線l₁垂直，根據(jù)直線CP的斜率求出直線l₁的斜率，確定出直線l₁的方程即可；
（2）聯(lián)立圓的方程與直線l₂方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)直線與圓相交于不同的兩個點，得到方程有兩個不相等的實數(shù)根，即根的判別式大于0，即可求出b的范圍．
解答：解：（1）由圓C：x²+y²-6x-4y+4=0，得（x-3）²+（y-2）²=9，
∴圓心C（3，2），半徑為3，
由垂徑定理知：直線l₁⊥直線CP，
∵直線CP的斜率k_CP==，
∴直線l₁的斜率k_l1=-=-2，
則直線l₁的方程為y-3=-2（x-5），即2x+y-13=0；
（2）由題意知方程組有兩組解，
由方程組消去y得2x²+2（b-1）x+b²+4b+4=0，該方程應有兩個不同的解，
∴△=[2（b-1）]²-8（b²+4b+4）＞0，化簡得b²+10b+7＜0，
由b²+10b+7=0，解得：b=-5±3，
∴b²+10b+7＜0解得：-5-3＜b＜-5+3，
則b的取值范圍是（-5-3，-5+3）．
點評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：圓的標準方程，點到直線的距離公式，直線與圓的位置關(guān)系由d與r的大小來判斷，當d＞r時，直線與圓相離；當d=r時，直線與圓相切；當d＜r時，直線與圓相交．