Question

設函數(shù)f(x)=

-1(x＜0) x2-1(0≤x≤1) x+3(x＞1)

（1）求f（x）在x=0處的左右極限，并判斷f（x）在x=0處是否有極限，是否連續(xù)；
（2）判斷f（x）在x=1、x=2是否連續(xù)．

Answer 1

分析：（1）由題設條件能夠推出

lim

x→0+

f(x)=

lim

x→0-

f(x)=-1，再由f（0）=-1，知f（x）在x=0處有極限且連續(xù)．
（2）由題設能推出

lim

x→1+

f(x)≠

lim

x→1-

f(x)，即f（x）在x=1處極限不存在，也不連續(xù)；x=2在f（x）的連續(xù)區(qū)間（1，+∞）內(nèi)，故f（x）在x=2處是連續(xù)的．

解答：解：（1）∵

lim

x→0+

f(x)=

lim

x→0+

(x2-1)=-1，

lim

x→0-

f(x)=

lim

x→0-

(-1)=-1，

lim

x→0+

f(x)=

lim

x→0-

f(x)=-1，
又f（0）=0²-1=-1．
∴f（x）在x=0處有極限且連續(xù)．

（2）

lim

x→1+

f(x)=

lim

x→1+

(x+3)=4，

lim

x→1-

f(x)=

lim

x→1-

(x2-1)=0，
∴

lim

x→1+

f(x)≠

lim

x→1-

f(x)，即f（x）在x=1處極限不存在，也不連續(xù)；
   x=2在f（x）的連續(xù)區(qū)間（1，+∞）內(nèi)，
故f（x）在x=2處是連續(xù)的．

點評：本題考查函數(shù)的連續(xù)性，解題時要注意函數(shù)連續(xù)的基本條件和基本性質(zhì)，合理地運用函數(shù)連續(xù)的充要條件解題．