精英家教網(wǎng)已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),對稱軸為x軸,焦點(diǎn)F在直線m:y=
43
(x-1)
上,直線m與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),P為拋物線上一動點(diǎn)(不同于A,B),直線PA,PB分別交該拋物線的準(zhǔn)線l于點(diǎn)M,N.
(1)求拋物線方程;
(2)求證:以MN為直徑的圓C經(jīng)過焦點(diǎn)F,且當(dāng)P為拋物線的頂點(diǎn)時,圓C與直線m相切.
分析:(1)依題意可知焦點(diǎn)F的坐標(biāo),進(jìn)而求得p,則拋物線的方程可得.
(2)把直線與拋物線方程聯(lián)立,求得交點(diǎn)A,B的坐標(biāo),設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),則直線AP的斜率可表示出來,根據(jù)點(diǎn)斜式表示直線AP的方程,把x=-1代入求得M的縱坐標(biāo),同理可表示出直線PB的方程把x=-1代入求得N的縱坐標(biāo),進(jìn)而求得
MF
NF
=0
判斷出MF⊥NF,進(jìn)而可知以MN為直徑的圓C經(jīng)過焦點(diǎn)F.當(dāng)P為拋物線的頂點(diǎn)時,t=0,可得MN中點(diǎn),即圓心坐標(biāo),進(jìn)而求得
CF
AB
=0
,進(jìn)而可知CF⊥AB,推斷出圓C與直線m相切.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)依題意,焦點(diǎn)F(1,0),拋物線方程為y2=4x.
(2)由
y2=4x
y=
4
3
(x-1)
得4x2-17x+4=0,x1=4,x2=
1
4
,
A(4,4),B(
1
4
,-1)

設(shè)P(
t2
4
,t)
,則kPA=
t-4
t2
4
-4
=
4
t+4
,
直線PA:y-4=
4
t+4
(x-4)
,令x=-1,
yM=
4t-4
t+4
,即M(-1,
4t-4
t+4
)

同理,直線PB:y+1=
4
t-1
(x-
1
4
)
,令x=-1,得yN=
-t-4
t-1

N(-1,
-t-4
t-1
)

MF
NF
=(2,-
4t-4
t+4
)•(2,
t+4
t-1
)=0
,∴MF⊥NF,
∴以MN為直徑的圓C經(jīng)過焦點(diǎn)F.
當(dāng)P為拋物線的頂點(diǎn)時,t=0,可得MN中點(diǎn),即圓心C(-1,
3
2
)
,
CF
=(2,-
3
2
)
AB
=(-
15
4
,-5)

CF
AB
=0
,即CF⊥AB,
∴圓C與直線m相切.
點(diǎn)評:本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題.考查了學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.
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