Question

【題目】已知A（0，1），B（0，﹣1），M（﹣1，0），動(dòng)點(diǎn)P為曲線C上任意一點(diǎn)，直線PA，PB的斜率之積為，動(dòng)直線l與曲線C相交于不同兩點(diǎn)Q（x1，y1），R（x2，y2），其中y1＞0，y2＞0且滿足．

（1）求曲線C的方程；

（2）若直線l與x軸相交于一點(diǎn)N，求N點(diǎn)坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）（x≠0）；（2）N（﹣2，0）

【解析】

（1）由已知及求軌跡方程的步驟可得到曲線C的軌跡方程；

（2）設(shè)直線l的方程為y＝k（x﹣m），聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，由已知可得kMQ+kMR＝0，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系代入即可解出N點(diǎn)坐標(biāo).

（1）動(dòng)點(diǎn)P為曲線C上任意一點(diǎn)，直線PA，PB的斜率之積為，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），x≠0；

則有：kPAkPB，化簡(jiǎn)可得：，x≠0．

故曲線C的方程為：（x≠0）；

（2）設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，0）．依題意，直線l的斜率存在且不為0，設(shè)為k（k≠0），

則直線l的方程y＝k（x﹣m），將y＝k（x﹣m）代入方程y2＝1（x≠0）．

得（2k2+1）x2﹣4k2mx+2（k2m2﹣1）＝0．

則△＝（﹣4k2m）2﹣8（2k2+1）（k2m2﹣1）＝8（2k2﹣k2m2+1）＞0，

動(dòng)直線與曲線C相交于不同兩點(diǎn)Q（x1，y1），R（x2，y2），其中y1＞0，y2＞0，

x1+x2，x1x2，且滿足，即，

如圖，

，，

則，故kMQ+kMR＝0，

即，

化簡(jiǎn)得：，

即，整理得m+2＝0，即m＝﹣2．

故點(diǎn)N的坐標(biāo)為(﹣2，0)．