【題目】已知函數(shù)f(x)=(1﹣x)ex﹣1.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最大值;
(Ⅱ)設(shè) ,x>﹣1且x≠0,證明:g(x)<1.

【答案】解:(Ⅰ)f′(x)=﹣xex

當(dāng)x∈(﹣∞,0)時,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;

當(dāng)x∈(0,+∞)時,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減.

∴f(x)的最大值為f(0)=0.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,當(dāng)x>0時,f(x)<0,g(x)<0<1.

當(dāng)﹣1<x<0時,g(x)<1等價于設(shè)f(x)>x.

設(shè)h(x)=f(x)﹣x,

則h′(x)=﹣xex﹣1.

當(dāng)x∈(﹣1,0)時,0<﹣x<1, <ex<1,

則0<﹣xex<1,

從而當(dāng)x∈(﹣1,0)時,h′(x)<0,h(x)在(﹣1,0]單調(diào)遞減.

當(dāng)﹣1<x<0時,h(x)>h(0)=0,

即g(x)<1.

綜上,總有g(shù)(x)<1


【解析】(Ⅰ)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和最值之間的關(guān)系,即可求函數(shù)f(x)的最大值;(Ⅱ)利用函數(shù)的 單調(diào)性,證明不等式.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】下面給出了四個類比推理: ①由“若a,b,c∈R則(ab)c=a(bc)”類比推出“若a,b,c為三個向量則( = )”;
②“a,b為實數(shù),若a2+b2=0則a=b=0”類比推出“z1 , z2為復(fù)數(shù),若 ”;
③“在平面內(nèi),三角形的兩邊之和大于第三邊”類比推出“在空間中,四面體的任意三個面的面積之和大于第四個面的面積”;
④“在平面內(nèi),過不在同一條直線上的三個點有且只有一個圓”類比推出“在空間中,過不在同一個平面上的四個點有且只有一個球”.
上述四個推理中,結(jié)論正確的個數(shù)有(
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

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【題目】已知關(guān)于x的不等式x2﹣(m+1)x+m<0的解集為A,若集合A中恰好有4個整數(shù),則實數(shù)m的取值范圍是

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【題目】已知0<a<1,函數(shù)f(x)=logax.
(1)若f(5a﹣1)≥f(2a),求實數(shù)a的最大值;
(2)當(dāng)a= 時,設(shè)g(x)=f(x)﹣3x+2m,若函數(shù)g(x)在(1,2)上有零點,求實數(shù)m的取值范圍.

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【題目】函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )的部分圖象如圖所示,則( )

A.f(x)的一個對稱中心為
B.f(x)的圖象關(guān)于直線 對稱
C.f(x)在 上是增函數(shù)
D.f(x)的周期為

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【題目】已知橢圓M: + =1(a>0)的一個焦點為F(﹣1,0),左右頂點分別為A,B,經(jīng)過點F的直線l與橢圓M交于C,D兩點.
(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)記△ABD與△ABC的面積分別為S1和S2 , 求|S1﹣S2|的最大值.

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【題目】設(shè)等差數(shù)列{an}滿足3a8=5a15 , 且 ,Sn為其前n項和,則數(shù)列{Sn}的最大項為(
A.
B.S24
C.S25
D.S26

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某省高考改革新方案,不分文理科,高考成績實行“3+3”的構(gòu)成模式,第一個“3”是語文、數(shù)學(xué)、外語,每門滿分150分,第二個“3”由考生在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6個科目中自主選擇其中3個科目參加等級性考試,每門滿分100分,高考錄取成績卷面總分滿分750分.為了調(diào)查學(xué)生對物理、化學(xué)、生物的選考情況,將“某市某一屆學(xué)生在物理、化學(xué)、生物三個科目中至少選考一科的學(xué)生”記作學(xué)生群體S,從學(xué)生群體S中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,他們選考物理,化學(xué),生物的科目數(shù)及人數(shù)統(tǒng)計如表:

選考物理、化學(xué)、生物的科目數(shù)

1

2

3

人數(shù)

5

25

20

(I)從所調(diào)查的50名學(xué)生中任選2名,求他們選考物理、化學(xué)、生物科目數(shù)量不相等的概率;
(II)從所調(diào)查的50名學(xué)生中任選2名,記X表示這2名學(xué)生選考物理、化學(xué)、生物的科目數(shù)量之差的絕對值,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(III)將頻率視為概率,現(xiàn)從學(xué)生群體S中隨機(jī)抽取4名學(xué)生,記其中恰好選考物理、化學(xué)、生物中的兩科目的學(xué)生數(shù)記作Y,求事件“y≥2”的概率.

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【題目】定義 為n個正數(shù)p1 , p2 , …,pn的“均倒數(shù)”.若已知正數(shù)數(shù)列{an}的前n項的“均倒數(shù)”為 ,又bn= ,則 + + +…+ =( )
A.
B.
C.
D.

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