Question

9．已知函數f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，$\frac{π}{2}$＜φ＜0）的最小周期為π，且f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求函數y=f（x）解析式，并寫出周期、振幅；
（2）求函數y=f（x）的單調遞減區(qū)間；
（3）通過列表描點的方法，在給定坐標中作出函數f（x）在[0，π]上的圖象．

Answer 1

分析 （1）根據函數的最小周期求出ω，f（$\frac{π}{4}$）求出φ的值，寫出f（x）的解析式、周期和振幅；
（2）根據余弦函數的圖象與性質，即可得出y=f（x）的單調遞減區(qū)間；
（3）利用列表描點法，作出函數f（x）在[0，π]上的圖象即可．

解答 解：（1）函數f（x）=cos（ωx+φ）的最小周期為π，
∴T=$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2；
又f（$\frac{π}{4}$）=cos（2×$\frac{π}{4}$+φ）=-sinφ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sinφ=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
又-$\frac{π}{2}$＜φ＜0，
∴φ=-$\frac{π}{3}$，
∴函數y=f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$），且周期是kπ，k∈Z，振幅為1；
（2）∵函數y=f（x）=cos（2x-$\frac{π}{3}$），
令2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+π，k∈Z，
解得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z，
∴函數y=f（x）的單調遞減區(qū)間是
[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z；
（3）∵0≤x≤π，∴-$\frac{π}{3}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{5π}{3}$；
則列表如下：

2x-$\frac{π}{3}$	-$\frac{π}{3}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	$\frac{5π}{3}$
x	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{11π}{12}$	π
y	$\frac{1}{2}$	1	0	-1	0	$\frac{1}{2}$

通過列表描點，作出函數f（x）在[0，π]上的圖象如圖所示：

點評 本題考查了余弦函數的圖象與性質的應用問題，也考查了五點作圖法的應用問題，是綜合性題目．