Question

已知定點(diǎn)A（0，-1），點(diǎn)B在圓F：x²+（y-1）²=16上運(yùn)動，F(xiàn)為圓心，線段AB的垂直平分線交BF于P．
（I）求動點(diǎn)P的軌跡E的方程；若曲線Q：x²-2ax+y²+a²=1被軌跡E包圍著，求實(shí)數(shù)a的最小值．
（II）已知M（-2，0）、N（2，0），動點(diǎn)G在圓F內(nèi)，且滿足|MG|•|NG|=|OG|²，求

MG

•

NG

的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由題意得|PA|=|PB|，得到|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=r=4＞|AF|=2，根據(jù)橢圓的定義可求得動點(diǎn)P的軌跡E的方程；根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)（有界性），可求得實(shí)數(shù)a的最小值；
（II）設(shè)G（x，y），并代入|MG|•|NG|=|OG|²，得到關(guān)于x，y的一個(gè)方程，點(diǎn)G在圓F：x²+（y-1）²=16內(nèi)，得到關(guān)于x，y的一個(gè)不等式，可求得y的取值范圍，把點(diǎn)G的坐標(biāo)代入

MG

•

NG

中，利用不等式的基本性質(zhì)分析即可求得結(jié)果．

解答：解：（I）由題意得|PA|=|PB|，
∴|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=r=4＞|AF|=2
∴P點(diǎn)軌跡是以A、F為焦點(diǎn)的橢圓．
設(shè)橢圓方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），
則2a=4，a=2，a²-b²=c²=1，故b²=3，
∴點(diǎn)p的軌跡方程為

y2

4

+

x2

3

=1
曲線Q：x²-2ax+y²+a²=1化為（x-a）²+y²=1，
則曲線Q是圓心在（a，0），半徑為1的圓．
而軌跡E：

y2

4

+

x2

3

=1為焦點(diǎn)在Y軸上的橢圓，短軸上的頂點(diǎn)為(-

3

，0)，(

3

，0)
結(jié)合它們的圖象知：若曲線Q被軌跡E包圍著，則-

3

+1≤a≤

3

-1
∴a的最小值為-

3

+1；
（II）設(shè)G（x，y），由|MG|•|NG|=|OG|²
得：

(x+2)2+y2

•

(x-2)2+y2

=x2+y2，
化簡得x²-y²=2，即x²=y²+2
而

MG

•

NG

=（x+2，y）•（x-2，y）=x²+y²-4=2（y²-1）．
∵點(diǎn)G在圓F內(nèi)：x²+（y-1）²=16內(nèi)，∴x²+（y-1）²＜16
又G滿足x²=y²+2
∴y²+2+（y-1）²＜16?

2-6 3

4

＜y＜

2+6 3

4

?0≤y²＜

14+3 3

2

，
∴-2≤2（y²-1）＜12+3

3

，
∴

MG

•

NG

的取值范圍為[-2，12+3

3

）．

點(diǎn)評：此題是個(gè)難題．考查橢圓的定義和幾何性質(zhì)，以及點(diǎn)圓位置關(guān)系和向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，綜合性較強(qiáng)，特別是問題（II）的設(shè)置，轉(zhuǎn)化為求最值問題，增加題目的難度．