Question

已知F是拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)，A，B是拋物線上的兩個(gè)點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M（2，2），則△ABF的面積等于（　�。�

• A、1
• B、2
• C、2

  2

• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：

分析：利用點(diǎn)斜式設(shè)過M的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表達(dá)式，根據(jù)AB的中點(diǎn)坐標(biāo)求得k，進(jìn)而求得直線方程，求得AB的長度和焦點(diǎn)到直線的距離，最后利用三角形面積公式求得答案．

解答：解：當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，根據(jù)對稱性可知AB的中點(diǎn)應(yīng)落在x軸上與已知矛盾，故直線AB的斜率一定存在，設(shè)為k，
則直線方程為y=k（x-2）+2，帶入拋物線方程得k²x²-（4k²-4k+4）x+4k²-4=0，
∴x₁+x₂=

4k2-4k+4

k2

=4，求得k=1，
∴x₁x₂=0
∴直線AB的方程為y=x，
∵拋物線方程為y²=4x，
∴焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0），
∴點(diǎn)F到直線AB的距離d=

1

2

=

2

2

，
|AB|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=4

2

∴S△_ABF=

1

2

•d•|AB|=

1

2

×4

2

×

2

2

=2．
故選B

點(diǎn)評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．當(dāng)直線與圓錐曲線相交時(shí)   涉及弦長問題，常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計(jì)算弦長（即應(yīng)用弦長公式）