(本小題滿(mǎn)分15分)在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)課上,老師給一個(gè)活動(dòng)小組安排了這樣的一個(gè)任務(wù):設(shè)計(jì)一個(gè)方案,將一塊邊長(zhǎng)為4米的正方形鐵片,通過(guò)裁剪、拼接的方式,將它焊接成容積至少有5立方米的長(zhǎng)方體無(wú)蓋容器(只有一個(gè)下底面和側(cè)面的長(zhǎng)方體).該活動(dòng)小組接到任務(wù)后,立刻設(shè)計(jì)了一個(gè)方案,如下圖所示,按圖1在正方形鐵片的四角裁去四個(gè)相同的小正方形后,將剩下的部分焊接成長(zhǎng)方體(如圖2).請(qǐng)你分析一下他們的設(shè)計(jì)方案切去邊長(zhǎng)為多大的小正方形后能得到的最大容積,最大容積是多少?是否符合要求?若不符合,請(qǐng)你幫他們?cè)僭O(shè)計(jì)一個(gè)能符合要求的方案,簡(jiǎn)單說(shuō)明操作過(guò)程和理由. W ww.k s  5u.c om

解:(1)設(shè)切去正方形邊長(zhǎng)為x,則焊接成的長(zhǎng)方體的底面邊長(zhǎng)為4-2x,高為x ,

所以V1= (4-2x)2·x = 4(x3-4x2 + 4x)  (0<x<2) .……….. ………..2

∴V1/ = 4(3x2-8x + 4),……….. ……….. ……….. 3

令V1/ = 0,即4(3x2-8x + 4) = 0,解得x1 = ,x2 = 2 (舍去) .--------4

∵  V1在(0,2)內(nèi)只有一個(gè)極值,

∴ 當(dāng)x = 時(shí),V1取得最大值.<5,即不符合要求. ….…. …. 6

(2)重新設(shè)計(jì)方案如下:

如圖①,在正方形的兩個(gè)角處各切下一個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形;如圖②,將切下的小正方形焊在未切口的正方形一邊的中間;如圖③,將圖②焊成長(zhǎng)方體容器.新焊長(zhǎng)方體容器底面是一個(gè)長(zhǎng)方形,長(zhǎng)為3,寬為2,此長(zhǎng)方體容積V2 = 3×2×1 = 6,顯然V2>5.

故第二種方案符合要求.

 

 
 


          圖①                 圖②                        圖③

 …. …. …. …. …. …. ….12

注:第二問(wèn)答案不唯一。

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(本小題滿(mǎn)分15分)

已知函數(shù)

(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)若,試分別解答以下兩小題.

(。┤舨坏仁對(duì)任意的恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(ⅱ)若是兩個(gè)不相等的正數(shù),且,求證:

 

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(本小題滿(mǎn)分15分).

已知、分別為橢圓

上、下焦點(diǎn),其中也是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),

點(diǎn)在第二象限的交點(diǎn),且

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)已知點(diǎn)P(1,3)和圓,過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線(xiàn)與圓相交于不同的兩點(diǎn)A,B,在線(xiàn)段AB取一點(diǎn)Q,滿(mǎn)足:,)。求證:點(diǎn)Q總在某定直線(xiàn)上。

 

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(本小題滿(mǎn)分15分)

如圖已知,橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,過(guò)的直線(xiàn)與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)。

(Ⅰ)若,且,求橢圓的離心率;

(Ⅱ)若的最大值和最小值。

 

 

 

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(本小題滿(mǎn)分15分)若函數(shù)在定義域內(nèi)存在區(qū)間,滿(mǎn)足上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052202033078124869/SYS201205220205036875888611_ST.files/image002.png">,則稱(chēng)這樣的函數(shù)為“優(yōu)美函數(shù)”.

(Ⅰ)判斷函數(shù)是否為“優(yōu)美函數(shù)”?若是,求出;若不是,說(shuō)明理由;

(Ⅱ)若函數(shù)為“優(yōu)美函數(shù)”,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

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