Question

12．如圖所示，已知雙曲線的中心在坐標原點O，焦點分別是F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），且雙曲線上的任意一點到兩個焦點的距離之差的絕對值等于2．
（1）求該雙曲線的標準方程、離心率及漸近線方程；
（2）若直線l經(jīng)過雙曲線的右焦點F₂，并與雙曲線交于M，N兩點，向量$\overrightarrow{n}$=（2，-1）是直線l的法向量，點P是雙曲線左支上的一個動點，求△PMN面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合焦點坐標求出a，b即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)直線的法向量求出直線的斜率，利用直線和雙曲線聯(lián)立，求出相交弦MN的長度，利用平移直線法求出和l平行的直線和雙曲線的左支相切時P的位置，進行求解即可．

解答 解：（1）∵雙曲線的中心在坐標原點O，焦點分別是F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0），
∴雙曲線的焦點在x軸，且c=2，
∵雙曲線上的任意一點到兩個焦點的距離之差的絕對值等于2．
∴2a=2，則a=1，b²=c²-a²=4-1=3，
則雙曲線的方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
離心率e=$\frac{c}{a}$=3，漸近線方程為y=±$\sqrt{3}$x．
（2）設(shè)直線l的方向向量為$\overrightarrow{a}$=（1，k），
∵向量$\overrightarrow{n}$=（2，-1）是直線l的法向量，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{n}$=2-k=0，
則k=2，
即直線的斜率k=2，
則直線的方程為y-0=2（x-2），
即y=2x-4．代入x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1得x²-$\frac{1}{3}$（2x-4）²=1，
整理得x²-16x+19=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則x₁+x₂=16，x₁x₂=19，
則|MN|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{5[1{6}^{2}-4×19]}$=$\sqrt{900}$=30，
設(shè)和y=2x-4平行的直線方程為y=2x+m，（m＞0）
但直線y=2x+m與雙曲線的左支相切時，
代入入x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1得x²-$\frac{1}{3}$（2x+m）²=1，
整理得x²+4mx+m²+3=0，
則判別式△=16m²-4（m²+3）=0
得m²=1，則m=1或m=-1（舍），
此時點P是直線和雙曲線相切的切點，此時點P到MN的距離d=$\frac{|-4-1|}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{5}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$，
即△PMN面積的最小值S=$\frac{1}{2}$|MN|d=$\frac{1}{2}×30×\sqrt{5}$=15$\sqrt{5}$．

點評 本題主要考查雙曲線的標準方程，以及直線和雙曲線相交時弦長的計算，利用設(shè)而不求的數(shù)學(xué)以及平移直線法是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度．