Question

已知數(shù)列是以d為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以q為公比的等比數(shù)列．
（1）若數(shù)列的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=b₁=d=2，S₃＜a₁₀₀₄+5b₂-2012，求整數(shù)q的值；
（2）在（1）的條件下，試問數(shù)列中是否存在一項(xiàng)b_k，使得b_k恰好可以表示為該數(shù)列中連續(xù)p（p∈N，p≥2）項(xiàng)的和？請說明理由；
（3）若b₁=a_r，b₂=a_s≠a_r，b₃=a_t（其中t＞s＞r，且（s-r）是（t-r）的約數(shù)），求證：數(shù)列中每一項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng)．

Answer 1

（1）由題意知，an=2n，bn=2•qn-1，
所以由S₃＜a₁₀₀₄+5b₂-2012，b1+b2+b3＜a1004+5b2-2012?b1-4b2+b3＜2008-2012?q2-4q+3＜0，…（3分）．解得1＜q＜3，
又q為整數(shù)，所以q=2．…（5分）
（2）假設(shè)數(shù)列{b_n}中存在一項(xiàng)b_k，滿足b_k=b_m+b_m+1+b_m+2+…+b_m+p-1，
因?yàn)?span mathtag="math" >bn=2n，
∴bk＞bm+p-1?2k＞2m+p-1?k＞m+p-1?k≥m+p（*）…（8分）
又bk=2k=bm+bm+1+bm+2+…+bm+p-1=2m+2m+1+…+2n+p-1=

2m(2p-1)

2-1

=2^m+p-2^m＜2^m+p，所以k＜m+p，此與（*）式矛盾．
所以，這要的項(xiàng)b_k不存在…（11分）
（3）由b₁=a_r，得b₂=b₁q=a_rq=a_s=a_r+（s-r）d，
則d=

ar(q-1)

s-r

…（12分）
又b3=b1q2=arq2=at=ar+(t-r)d?arq2-ar=(t-r)•

ar(q-1)

s-r

，
從而ar(q+1)(q-1)=ar(q-1)•

t-r

s-r

，
因?yàn)閍_s≠a_r?b₁≠b₂，所以q≠1，a_r≠0，
故q=

t-r

s-r

-1．又t＞s＞r，且（s-r）是（t-r）的約數(shù)，
所以q是整數(shù)，且q≥2…（14分）
對于數(shù)列中任一項(xiàng)b_i（這里只要討論i＞3的情形），
有bi=arqi-1=ar+ar(qi-1-1)=ar+ar(q-1)(1+q+q2+…+qi-2)=ar+d(s-r)(1+q+q2+…+qi-2)=ar+[((s-r)(1+q+q2+…+qi-2)+1)-1]•d，
由于（s-r）（1+q+q²+…+q^i-2）+1是正整數(shù)，
所以b_i一定是數(shù)列的項(xiàng)…（16分）