Question

若展開式中前三項的系數成等差數列，求：
（1）展開式中所有x的有理項；
（2）展開式中系數最大的項．

Answer 1

解：易求得展開式前三項的系數為 ．（2分）
據題意 （3分）?n=8（4分）
（1）設展開式中的有理項為T_r+1，由
∴r為4的倍數，又0≤r≤8，∴r=0，4，8．（6分）

故有理項為：，
，
．（8分）
（2）設展開式中T_r+1項的系數最大，則：且（10分）
?r=2或r=3
故展開式中系數最大項為：．（12分）
分析：由題意需先求出展開式中前三項的系數利用它們成等差數列求出n，
（1）由公式，故可知r=0，4，8時，所得的項為有理項，代入求之即可；
（2）展開式中系數最大的項滿足這樣的條件，比其前的項大，也比其后的項大，由此關系可得限制條件．解不等式求出r既得．
點評：本題考查二項式系數的性質，解題的關鍵是熟練掌握理解二項式系數的性質及相關的公式，求二項式系數的最大項是考試的一個熱點，掌握其轉化的條件，及轉化的思想，在一些求最值的問題中，此做法有推廣的必要．