Question

已知0＜x＜＜y＜π且sin（x+y）=
（Ⅰ）若tg=，分別求cosx及cosy的值；
（Ⅱ）試比較siny與sin（x+y）的大小，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據x的范圍得到的范圍，由tan的值，利用同角三角函數間的基本關系即可求出cos的值，進而再利用同角三角函數間的基本關系求出sin的值，利用二倍角的正弦、余弦函數公式，由sin和cos的值及x的范圍，即可求出sinx和cosx的值，再根據x與y的范圍得到x+y的范圍，由sin（x+y）的值，利用同角三角函數間的基本關系求出cos（x+y）的值，然后把y變?yōu)椋▁+y）-x，利用兩角差的余弦函數公式化簡后，將各自的值代入即可求出值；
（Ⅱ）由x與y的范圍求出x+y的范圍及x+y大于y，然后根據正弦函數在x+y的范圍中為減函數，利用正弦函數的單調性即可得到siny大于sin（x+y）．
解答：解：（Ⅰ）∵0＜x＜＜y＜π，tan=，且0＜＜，
∴cos==，sin=，
則cosx=2cos²-1=，sinx=，
又sin（x+y）=，＜x+y＜，
∴cos（x+y）=-，
∴cosy=cos[（x+y）-x]
=cos（x+y）cosx+sin（x+y）sinx
=；

（Ⅱ）∵0＜x＜y＜π，
∴＜x+y＜，＜y＜x+y＜，
又y=sinx在[，]上為減函數，
∴siny＞sin（x+y）．
點評：此題考查學生靈活運用同角三角函數間的基本關系及兩角和與差的余弦函數公式化簡求值，掌握正弦函數的圖象與性質，是一道基礎題．