已知定義在(-1,1)上的函數(shù)f (x)滿足,且對x,y∈(-1,1)時,有
(I)判斷f(x)在(-1,1)上的奇偶性,并證明之;
(II)令,求數(shù)列{f(xn)}的通項公式;
(III)設Tn為數(shù)列的前n項和,問是否存在正整數(shù)m,使得對任意的n∈N*,有成立?若存在,求出m的最小值;若不存在,則說明理由.
【答案】分析:(I)判定奇偶性需判定f(-x)與f(x)的關系,可令x=y=0,求出f(0),然后令x=0時,可得f(-x)與f(x),可判定奇偶性;
(II)欲求數(shù)列{f(xn)}的通項公式先研究該數(shù)列的特點,利用條件可得,根據(jù)奇偶性可得,則{f(xn)}是以為首項,以2為公比的等比數(shù)列,可求出所求;
(III)先利用等比數(shù)列求和公式求出Tn,然后假設存在正整數(shù)m,使得對任意的n∈N*,有成立,求出不等式左邊的最大值建立不等式關系,可求出m的取值范圍,從而求出所求.
解答:解:(I)令x=y=0,得f(0)=0.
又當x=0時,f(0)-f(y)=f(-y),即f(-y)=-f(y).
∴對任意x∈(-1,1)時,都有f(-x)=-f(x).
∴f(x)為奇函數(shù).       (3分)
(II)∵{xn}滿足,
∴0<xn<1.

∵f(x)在(-1,1)上是奇函數(shù),
∴f(-xn)=-f(xn
∴f(xn+1)=2f(xn),即
∵{f(xn)}是以為首項,以2為公比的等比數(shù)列.
∴f(xn)=2n-1.                                                    (5分)
(III)
===
假設存在正整數(shù)m,使得對任意的n∈N*,
成立,
對n∈N*恒在立.
只需,即m≥10.
故存在正整數(shù)m,使得對n∈N*,有成立.
此時m的最小值為10.                                       (5分)
點評:本題主要考查了等比數(shù)列的求和,以及函數(shù)的奇偶性和單調性,同時考查了數(shù)列與不等式的綜合應用,以及轉化的思想和計算的能力,屬于難題.
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