Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足S_n=n²a_n-n²（n-1），且a₁=

1

2

，令b_n=n+

1

n

S_n，證明：b_n-b_n-1=

3

2

（n≥2）．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：把原遞推式變形得到

n+1

n

Sn-

n

n-1

Sn-1=n，然后利用累加法求得Sn=

n2

2

，代入b_n=n+

1

n

S_n后直接作差證得答案．

解答： 證明：由S_n=n²a_n-n²（n-1），得
當n≥2時：S_n=n²（S_n-S_n-1）-n²（n-1），
即(n2-1)Sn-n2Sn-1=n2(n-1)，
則

(n2-1)Sn

n(n-1)

-

n2Sn-1

n(n-1)

=n，即

n+1

n

Sn-

n

n-1

Sn-1=n．
分別取n=2，3，4，…，n，得

3

2

S2-

2

1

S1=2，

4

3

S3-

3

2

S2=3，

5

4

S4-

4

3

S3=4，
…

n+1

n

Sn-

n

n-1

Sn-1=n．
累加得：

n+1

n

Sn-2S1=2+3+4+…+n=

(2+n)(n-1)

2

，
∴

n+1

n

Sn=2×

1

2

+

(n+2)(n-1)

2

=

n2+n

2

．
∴Sn=

n2

2

．
則b_n=n+

1

n

S_n=n+

n

2

=

3n

2

．
∴b_n-b_n-1=

3n

2

-

3(n-1)

2

=

3

2

．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了累加法求數(shù)列的通項公式，是中檔題．