Question

（2013•崇明縣二模）設(shè)M為平面內(nèi)一些向量組成的集合，若對(duì)任意正實(shí)數(shù)λ和向量

a

∈M，都有λ

a

∈M，則稱M為“點(diǎn)射域”，在此基礎(chǔ)上給出下列四個(gè)向量集合：①{（x，y）|y≥x²}；②{（x，y）|

x-y≥0 x+y≤0

}；③{（x，y）|x²+y²-2y≥0}；④{（x，y）|3x²+2y²-12＜0}．其中平面向量的集合為“點(diǎn)射域”的序號(hào)是

②

．

Answer 1

分析：根據(jù)題中“點(diǎn)射域”的定義對(duì)各個(gè)選項(xiàng)依次加以判別，可得①③④都存在反例，說(shuō)明它們不是“點(diǎn)射域”，而②通過(guò)驗(yàn)證可知它符合“點(diǎn)射域”的定義，是正確選項(xiàng)．

解答：解：根據(jù)“點(diǎn)射域”的定義，可得向量

a

∈M時(shí)，與它共線的向量λ

a

∈M也成立，
對(duì)于①，M={（x，y）|y≥x²}表示終點(diǎn)在拋物線y≥x²上及其張口以內(nèi)的向量構(gòu)成的區(qū)域，
向量

a

=（1，1）∈M，但3

a

=（3，3）∉M，故它不是“點(diǎn)射域”；
對(duì)于②，M={（x，y）|

x-y≥0 x+y≤0

}，可得任意正實(shí)數(shù)λ和向量

a

∈M，都有λ

a

∈M，故它是“點(diǎn)射域”；
對(duì)于③，M={（x，y）|x²+y²-2y≥0}，表示終點(diǎn)在圓x²+y²-2y=0上及其外部的向量構(gòu)成的區(qū)域，
向量

a

=（0，2）∈M，但

1

2

a

=（0，1）∉M，故它不是“點(diǎn)射域”；
對(duì)于④，M={（x，y）|3x²+2y²-12＜0}，表示終點(diǎn)在橢圓

y2

6

+

x2

4

=1內(nèi)部的向量構(gòu)成的區(qū)域，
向量

a

=（1，1）∈M，但3

a

=（3，3）∉M，故它不是“點(diǎn)射域”．
綜上所述，滿足是“點(diǎn)射域”的區(qū)域只有②
故答案為：②

點(diǎn)評(píng)：本題給出特殊定義，叫我們判斷符合題的選項(xiàng)，著重考查集合與元素的關(guān)系和向量的性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．