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5.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1(側(cè)棱垂直于底面的棱柱為直棱柱)中,BC=CC1=1,AC=2,∠ABC=90°.
(1)求證:平面ABC1⊥平面A1B1C;
(2)求三棱錐A1-ABC1的體積.

分析 (1)由四邊形BCC1B1是正方形得BC1⊥B1C,由A1B1⊥平面BCC1B1得出A1B1⊥BC1,故BC1⊥平面A1B1C,從而平面ABC1⊥平面A1B1C;
(2)由)∵A1B1⊥B1C1,B1B⊥B1C1可知B1C1⊥平面ABB1A1,于是VA1ABC1=VC1ABA1=13SABA1B1C1

解答 證明:(1)∵直三棱柱ABC-A1B1C1,BC=CC1
∴四邊形BCC1B1是正方形,
∴BC1⊥B1C,
∵AB⊥BC,AB⊥BB1,BC,BB1?平面BCC1B1,BC∩BB1=B,
∴AB⊥平面BCC1B1,∵BC1?平面BCC1B1,
∴AB⊥BC1,又∵AB∥A1B1,
∴A1B1⊥BC1,又A1B1?平面平面A1B1C,B1C?平面A1B1C,A1B1∩B1C=B1,
∴BC1⊥平面A1B1C,又BC1?平面ABC1,
∴平面ABC1⊥平面A1B1C,
(2)∵A1B1⊥B1C1,B1B⊥B1C1,A1B1?平面ABB1A1,B1B?平面ABB1A1,A1B1∩B1B=B1,
∴B1C1⊥平面ABB1A1,
∵AB⊥BC,∴AB=AC2BC2=3,
∴VA1ABC1=VC1ABA1=13SABA1B1C1=13×12×3×1×1=36

點評 本題考查了直棱柱的結(jié)構(gòu)特征,面面垂直的判定,棱錐的體積計算,屬于中檔題.

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